滚动摩擦

当两个物体一起滚动时，例如车轮在轨道上滚动或轴承中的滚子在其滚道上滚动时，会产生一种稍微不同的摩擦力。

设想一个承受载荷 $W$ 的车轮以均匀速度沿轨道向左运动，如图 1 所示。由于轨道的连续变形，需要一个水平力 $F$ 来保持系统平衡，因此该力是车轮滚动阻力的度量。滚动阻力的大小通常通过给出距离 $a$ 来指定，该距离有时被称为滚动阻力系数。然而，应当指出的是，这个距离 a 严格来说不应该被称为系数，它与摩擦力的关系如下： $\beginaligned} F & =N \sin \phi \\ W & =N \cos \phi \\ F & =W \tan \phi \end{aligned}$

对于较小的 $a$ 值， $\tan ϕ \approx \frac{a}{r}$ 因此：下表给出了一些有代表性的 $a$ 值：

材料	$a$ (英寸)
淬火钢对淬火钢，干净光滑表面	0.0002–0.0005
钢对钢	0.002
硬木对硬木	0.02
充气橡胶轮胎在光滑路面上	0.02–0.03

可以看出，滚动阻力通常比滑动阻力小得多。这一事实被应用于许多类型的所谓“减摩”滚珠和滚子轴承中。虽然此类轴承的系数远小于干润滑或边界润滑轴承的摩擦系数，但它们并不低于通过正确设计的厚膜润滑轴承所能达到的系数。

例题。一块在其中点承受载荷 $P$ 的木板支撑在两个半径为 $r$ 的圆柱形滚子上，如图 2 所示。求移动该木板所需的力 $F$ 。

解答。对于一个滚子，情况如图 3 所示。

画出木板的受力图（图 4），我们有： $\beginaligned} \sum F_{x} & =0=-N \sin \phi+\frac{F}{2} \\ \sum F_{y} & =0=N \cos \phi-\frac{P}{2} \end{aligned}$

因此： $\beginaligned} & N=\frac{P}{2 \cos \phi} \\ & F=2 N \sin \phi=2 \sin \phi\left(\frac{P}{2 \cos \phi}\right) \\ & F=P \tan \phi \end{aligned}$ 对于较小的 $ϕ$ 值，我们有 $\tan ϕ \approx \sin ϕ$ ，且 $\sin ϕ = \frac{a}{r}$ ，其中 $a$ 是如上定义的“滚动阻力系数”；因此 $F = \frac{P a}{r}$ 注意，尽管在这个问题中我们有两个滚动接触面，即双重滚动，但得到的结果与上面单重滚动接触得到的结果相同。虽然滚动接触面增加了一倍，但力的作用位置使其在产生滚动运动时的效果也增加了一倍，因此最终结果是相同的。

5.3.1 习题

1. 如图所示，通过在木板和木滚子上拉动来移动一栋房屋。如果房屋的总重量为 30,000 磅，求以均匀速度移动房屋所需的水平力。滚子的直径为 1 英尺。

答案

100 磅（最小）

2. 一块直木板被加载在两组滚子之间，如附图所示。滚子的直径为 3 英寸，所有接触面的滚动阻力系数均为 0.01 英寸。整个系统垂直承受 2000 磅的均匀分布载荷。顶面和底面都布置成不能水平移动。移动该木板需要多大的水平力 $F$ ？

答案

26.7 磅