转型摩擦

已知一半径为 $r$ 的圆轴承受轴向载荷 $P$ ，并由如图 1 所示的平面支撑。求在接触面上产生的摩擦转矩。

考虑一个半径为 $ρ$ 、厚度为 $d ρ$ 的圆环微元。我们现在必须假设表面上的某种力分布。最简单的假设是均匀力分布。假设表面上任意一点的单位面积力或压力为 $p$ 。这与总力 $P$ 的关系为： $p A = P = p π r^{2} .$ 作用在微元圆环面积 $d A$ 上的法向力等于： $p d A = (p) (2 π ρ d ρ)$ 切向于表面的摩擦力为： $d f = μ p 2 π ρ d ρ$ 由所示的这一个微元引起的绕轴线的摩擦力矩为： $d M = ρ (μ p 2 π ρ d ρ)$ 为了求得总摩擦转矩，我们对整个面积上的微元进行求和：因此，摩擦力的作用效果就好像它集中在距离中心 $\frac{2}{3} r$ 处一样。

如果轴与支撑面之间存在相对运动（例如在推力轴承中），上述常数压力的假设（无论如何这都是一个近似值）就不再合理了。由于轴外侧的速度较大，在较大 $ρ$ 值处的微元所做的摩擦功大于靠近中心处的微元所做的摩擦功。这导致外侧微元的磨损比内侧微元更严重，从而使压力变得不均匀。接下来，我们在假设磨损或摩擦功为常数（而不是压力为常数）的前提下求解摩擦转矩。因此，我们使量 $p ρ$ 成为常数，而不是单独的 $p$ 。如果我们令 $p ρ = K$ ，那么上述摩擦转矩方程变为： $M = 2 π μ K \int_{0}^{r} ρ d ρ = {2 π μ K (\frac{ρ^{2}}{2}) |}_{0}^{r} = π μ K r^{2}$ 为了求得 $K$ 的值，我们注意到微元上所有法向力的总和必须为 $P$ ： $P = \int_{0}^{r} p 2 π ρ d ρ = 2 π K \int_{0}^{r} d ρ = 2 π K r$ 所以： $K = \frac{P}{2 π r}$ 从而： $M = π μ r^{2} \frac{P}{2 π r} = \frac{r}{2} μ P$ 因此，在等磨损假设下，摩擦力的作用效果就好像它集中在距离中心 $\frac{r}{2}$ 处一样。

在大多数实际问题中，摩擦系数的已知精度不足以对上述两种情况进行区分。

5.5.1 习题

1. 阶梯轴承的尺寸如图所示。在计算因摩擦引起的能量损失时，基于轴承表面间等磨损和等压力假设所得出的结论之间有多大差异？

答案

等 $p$ 假设得出的损失大约大 $\frac{1}{2} %$

2. 如图所示，求圆锥枢轴点的摩擦转矩，假设压力在表面上均匀分布。证明当角度 $α = 90^{\circ}$ 时，结果简化为上述推导的平面扁平枢轴的情况。

答案

$\frac{P μ d}{3 \sin α}$

3. 某汽车发动机能够产生 2500 英寸-磅的最大转矩。现需为该发动机设计一个如图所示形式的单片离合器。

转矩通过具有外径 $D_{o}$ 和内径 $D_{i}$ 的圆环摩擦面进行传递。摩擦盘具有石棉面，其摩擦系数为 0.3。如果摩擦盘的单位面积力（假设为常数）限制在 30 磅/平方英寸，且 $D_{i} = 6 in$ ，那么 $D_{o}$ 的值应为多少，以及接合离合器需要多少轴向力？

答案

10.8 英寸，1900 磅