平衡条件

若要使一般力系处于平衡状态，合力和合力偶都必须等于零，平衡条件变为：

通常在直角坐标系中描述力系是比较方便的。由于只有当力向量和力偶向量的三个直角坐标分量都为零时，它们才可能为零，因此一般平衡方程变为： ${\begin{array}{r} \sum F_{x} = 0 \\ \sum F_{y} = 0 \\ \sum F_{z} = 0 \\ \sum M_{x} = 0 \\ \sum M_{y} = 0 \\ \sum M_{z} = 0 \end{array}$

由于在任何坐标系中确定力向量都需要三个量，确定力偶向量还需要另外三个量，因此有六个独立的方程可用于表示平衡条件。对于处于平衡状态的力系，沿任意轴的力之和为零，绕任意轴的力矩之和为零，因此可以写出任意数量的有效方程。然而，所有这些方程并不会都是独立的。对于任何特定的力系，可以写出的独立平衡方程的数量等于为了完全确定该力系的合量而必须给出的物理量的数量。了解对于任何特定力系可以写出的独立方程的数量是非常重要的，因为这规定了可以通过平衡方程确定的未知量的最大数量。

各种力系可用的此类独立方程的数量为：

一般三维力系。可以写出六个独立方程。这些可以全部是力矩方程，或者其中最多有三个方程可以是力方程。
一般汇交力系。该力系的合量是一个单一的力，需要三个分量才能完全确定。因此有三个独立的平衡方程。这些方程可以是力方程、力矩方程，或者同时包含力和力矩方程。
一般平面力系。三个量即可完全确定一个平面内一般力系的合量，因此有三个可用的平衡方程。既可以使用力方程也可以使用力矩方程，但最多只能写出两个力方程。
一般平行力系。在空间平行力系中，可以写出三个方程。这些通常是一个力方程和两个力矩方程。
平面平行力系。可以写出两个方程，可以是一个力和一个力矩方程，或者是两个力矩方程。
平面汇交力系。可以写出两个方程，可以是力方程、力矩方程，或者是力矩和力方程。
共线力系。可以使用一个方程，可以是一个力方程或一个力矩方程。

在实际应用中，人们会根据问题的具体条件来选择方程的类型，以及力求和的轴或力矩求和的轴。对于大多数问题，使用某些特定的轴会比使用其他可能的轴得到更简单的方程，因此应该仔细分析每个问题并选择最合适的一组方程。例如，通过选择一条与力系中若干个力的作用线相交的矩轴，往往可以简化力矩方程。通过这种方式，通常可以得到仅包含一个或两个未知数的方程。

例 1.

例。起重机由一根在 $D$ 处铰接的垂直刚性杆 $A D$ 组成，并由两根拉线 $A E$ 和 $A F$ 支撑（图 1）。

一个 $1000 lb$ 的垂直载荷由起重臂 $C G$ 吊起，该起重臂由拉线 $B G$ 支撑，系统的整体配置如图所示。求作用在杆 $A D$ 上的所有力。与作用在系统上的其他力相比，杆的自重很小，因此在本题中可以忽略不计

解。我们首先画出杆 $A D$ 的受力图（图 2）。

已知拉线在 $A$ 和 $B$ 处的力沿着拉线的方向，因此可以在受力图上按其正确的方向画出。 $C$ 处的力必须位于起重臂 $C G$ 和拉线 $B G$ 所在的平面内，但由于我们不知道它在此平面内的方向，我们用两个未知分量 $C_{y}$ and $C_{x z}$ 来表示该力，其中 $C_{x z}$ 平行于 $x z$ 平面。 $D$ 处的力是完全未知的，可能处于空间中的任何位置，因此我们用三个直角分量 $D_{x}, D_{y}$ 和 $D_{z}$ 来表示该力。我们现在注意到，本题中有八个未知量，而我们只能为一般力系写出六个独立的方程。因此，显然我们无法从图中所示的受力图确定所有的力，我们来探讨从结构其他部分的受力图确定其中一些力的可能性。接下来我们画出起重臂 $C G$ 的受力图（图 3）。

对于这个一般平面力系，可以写出三个方程，从而可以确定力 $C_{y}, C_{x z}$ 和 $B$ 。在找到了原始受力图中八个未知量中的三个之后，可以为该受力图写出的六个方程将足以完成该问题的求解。

对于起重臂 $B C$ 的受力图，我们有： $拉力$ 由第一个方程得 $C_{x z} = 525 lb .$

由于所有力求出的符号均为正，我们知道我们为未知分量选择了正确的方向。注意，第二个受力图中的力 $B$ 、 $C_{y}$ 和 $C_{x z}$ 与第一个受力图中的力 $B, C_{y}$ 和 $C_{x z}$ 大小相等、方向相反。

现在回到第一个受力图，并在每种情况下针对能产生最简单结果的轴写出方程，我们有：因此， $D_{y} = 1364 lb$ 因此， $D_{x} = - 242 lb$

由于 $D_{x}$ 算出的符号为负，我们知道在受力图上所示的方向是不正确的，该力的实际方向与图示方向相反。

因此，

$D_{z} = 140 lb$ 因此， $A_{2} = 105 lb$ 因此， $A_{1} = 394 lb$

作为校核方程，我们可以写出：

2.1.1 习题

练习 1.

1. 两个均匀圆柱体支撑在一个凹槽中，如图所示。 $W_{1}$ 的重量为 $250 lb$ ， $W_{2}$ 的重量为 $750 lb$ 。求 $W_{1}$ 施加在 $W_{2}$ 上的力，以及两个圆柱体施加在凹槽侧壁和底面上的力。

练习 2.

2. 三个载荷作用在简支梁上，如图所示。求两个支座施加在梁上的力。通过两个力矩方程求解这些力，并用一个力方程进行校核。假设梁的重量与作用载荷相比很小，忽略不计。写出关于前两个力矩方程未使用的某个点的第三个力矩方程，并证明这第三个方程不是独立的，而是可以由前两个方程推导出来。

答案

$292 lb; 208 lb$

练习 3.

3. 一个重 $100 lb$ 的重物悬挂在长 $3 ft$ 的无重杆的末端，如图所示。求系统平衡时的角度 $θ$ 。假设接触面是无摩擦的，即 $B$ 处的力垂直于 $杆 A C$ 。

答案

练习 4.

4. 证明对于一般平面力系，只有在三个力矩中心不共线的情况下，三个力矩方程才足以保证平衡。

练习 5.

5. 证明三个不共面的汇交力不可能处于平衡状态。

练习 6.

6. 滚子的半径为 $18 in$ ，重量为 $500 lb$ 。如图所示，必须施加多大的力才能刚好将滚子拉过一个 $2 in$ 的障碍物；即，使滚子上的垂直反力减小到零？

答案

424 lb

练习 7.

7. 位于 $x y$ 平面内的杆 $A C$ 由两根水平缆绳 $B D$ 和 $B E$ 支撑，如图所示。一个 1000 lb 的水平力作用在杆的末端，并与 $x y$ 平面成 $30^{\circ}$ 角，如图所示。求 $A$ 处的力以及缆绳中的拉力。

答案

$D = 105 lb (T); E = 1455 lb \(T)$ ; $A = 500 lb$

练习 8.

8. 证明如果三个共面且不平行的力处于平衡状态，则它们必汇交于一点。