向量积或叉积

图 1 示出了两个向量 $𝐚$ 和 $𝐛$ ，它们在两向量构成的平面内夹角为 $θ < 180^{\circ}$ 。向量积 $𝐚 \times 𝐛$ 被定义为沿着垂直于向量 $𝐚$ 和 $𝐛$ 所在平面的直线 $O B$ 的向量，其方向满足：如果沿 $O B$ 方向看去，顺时针旋转会将 $𝐚$ 的方向转到 $𝐛$ 的方向。方向的规则也可以表述为：该方向是右手螺旋从 $𝐚$ 旋转到 $𝐛$ 时的推进方向。向量积的大小定义为 $(a) (b) \sin θ$ 。因此，其大小等于图 1 中阴影三角形面积的两倍。由于其书写形式，向量积 $𝐚 \times 𝐛$ 通常被称为叉积。

由上述定义可知，向量积取决于向量相乘的顺序。向量积 $𝐛 \times 𝐚$ 的大小与 $𝐚 \times 𝐛$ 相同，但方向相反，因此 $𝐛 \times 𝐚 = - 𝐚 \times 𝐛$ 即向量积不满足交换律。

将向量积写成分量形式，我们有：

根据向量积的定义，我们得到单位向量 $𝐢, 𝐣, 𝐤$ 之间的以下关系： $𝐢 \times 𝐢 = 𝐣 \times 𝐣 = 𝐤 \times 𝐤 = 0$ $𝐢 \times 𝐣 = - 𝐣 \times 𝐢 = 𝐤$ $𝐢 \times 𝐤 = - 𝐤 \times 𝐢 = - 𝐣$ $𝐣 \times 𝐤 = - 𝐤 \times 𝐣 = 𝐢$ 因此： $𝐚 \times 𝐛 = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) 𝐢 + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) 𝐣 + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) 𝐤$