力偶的特性

力偶被定义为大小相等、方向相反的两个平行力所组成的系统。现在我们将证明，力偶各力的力矩之和与取矩的点无关。

考虑两个大小相等、方向相反的力 ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐅}_{\mathbf{2}}$；${𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐅}_{\mathbf{2}}=0$（图 1）。设 ${𝐫}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐫}_{\mathbf{2}}$ 是从任意点 $O$ 分别画到 ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐅}_{\mathbf{2}}$ 作用线上各点的矢量。$𝐚$ 是矢量 $({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})$。力偶两力的力矩之和称为力偶矩，并用矢量 $𝐂$ 表示。

$$𝐂={𝐫}_{\mathbf{1}}\times {𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐫}_{\mathbf{2}}\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ 由于 ${𝐅}_{\mathbf{1}}=-{𝐅}_{\mathbf{2}}$，上式变为：

$$𝐂=({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})\times {𝐅}_{\mathbf{2}}=𝐚\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ 由于 $O$ 可以取为任意点而不改变矢量 $𝐚$，因此力偶矩与取矩的中心无关。因此，力偶矩是力偶本身的一种属性，可以作为力偶大小的定量度量。因此，一个力偶完全由力偶矢量 $𝐂=𝐚\times 𝐅$ 确定。力偶矢量的大小等于 $(𝐅)(𝐚\sin \theta )=(𝐅)(d)$，其中 $d$ 是力偶两力之间的垂直距离。其方向垂直于包含这两个力的平面，其指向与由力偶两力旋转的右手螺旋的前进方向一致。

由于 $𝐂$ 与任何特定点无关，因此力偶矢量不像力矢量那样具有唯一的作用线。

从上述力偶作为矢量的定义中，可以直接得出若干特性：

1. 如果两个力偶的矩和方向相同，则它们是等效的（对物体产生相同的运动效应）。力和力臂的具体数值并不重要；决定力偶作用的是两者的乘积。
2. 力偶的力可以在其平面内旋转任意角度，或平移到平面内的任意位置，而不会改变力偶对物体的运动效应。
3. 力偶的力可以平移到任何平行平面，而不会改变力偶对物体的运动效应。 

习题

1. 给定图中所示的两个力偶，求它们的合力偶：
(a) 直接相加力偶的力，从而形成一个新的力偶。
(b) 相加力偶矢量。

答案

$54.0\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2. 参考前一个问题的图示，求该力系各力关于位于 $xz$ 平面内的直线 $OP$ 的力矩之和。先直接对直线 $OP$ 取矩，然后求前一个问题中求得的合力偶矢量沿直线 $OP$ 的分量。

答案

$-40.1\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

3. 求图中所示三个力偶系统的合力偶。

答案

$68𝐣+39𝐤$

4. 求图中所示三个空间力偶的合力偶。

答案

$28.3𝐢-104𝐣-585𝐤$

5. 六个大小相等的力沿立方体的棱边作用，如图所示。求该力系的合力。