伴侣的特征

力偶已被定义为由两个大小相等但方向相反的平行力组成的系统。我们现在将证明，力偶中各力的力矩之和与计算力矩所绕的点无关。

考虑两个大小相等且方向相反的力 ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐅}_{\mathbf{2}}$；${𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐅}_{\mathbf{2}}=0$（图 1）。设 ${𝐫}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐫}_{\mathbf{2}}$ 是从任意点 $O$ 引向 ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ 和 ${𝐅}_{\mathbf{2}}$ 作用线上的点的向量。$𝐚$ 是向量 $({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})$。力偶中这两个力的力矩之和将被称为力偶矩，并用向量 $𝐂$ 表示。

$$𝐂={𝐫}_{\mathbf{1}}\times {𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐫}_{\mathbf{2}}\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ 由于 ${𝐅}_{\mathbf{1}}=-{𝐅}_{\mathbf{2}}$，这变为：

$$𝐂=({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})\times {𝐅}_{\mathbf{2}}=𝐚\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ 由于在不改变向量 $𝐚$ 的情况下，$O$ 可以取为任意点，因此力偶矩与计算力矩所绕的中心无关。因此，力偶矩是力偶本身的一种属性，可以作为力偶大小的定量度量。因此，力偶完全由力偶向量 $𝐂=𝐚\times 𝐅$ 决定。力偶向量的大小等于 $(𝐅)(𝐚\sin \theta )=(𝐅)(d)$，其中 $d$ 是力偶中两个力之间的垂直距离。其方向垂直于包含这两个力的平面，而指向则对应于受力偶中各力旋转的右旋螺钉的推进方向。

由于 $𝐂$ 与任何特定点无关，因此力偶向量不像力向量那样具有唯一的作用线。

根据上述将力偶定义为向量的定义，可以直接得出以下若干特征：

1. 如果两个力偶的力偶矩和方向相同，则它们是等效的（对物体具有相同的运动效应）。力和力臂的具体数值并不重要；只有两者的乘积才决定力偶的作用。
2. 力偶中的力可以在其平面内旋转任意角度，或平移到平面内的任何位置，而不改变力偶对物体的运动效应。
3. 力偶中的力可以平移到任何平行平面内，而不改变力偶对物体的运动效应。 

习题

1. 已知如图所示的两个力偶，求它们的合力偶：
(a) 通过直接将力偶的力相加，从而形成一个新的力偶。
(b) 通过将力偶向量相加。

答案

$54.0\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2. 参考上一题中的图，求该系统各力对位于 $xz$ 平面内的直线 $OP$ 的力矩之和。求解时，首先直接对直线 $OP$ 求矩，然后求出在上一题中求得的合力偶向量沿直线 $OP$ 的分量。

答案

$-40.1\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

3. 求图中所示的三个力偶系统的合力偶。

答案

$68𝐣+39𝐤$

4. 求图中所示的三个空间力偶的合力偶。

答案

$28.3𝐢-104𝐣-585𝐤$

5. 六个大小相等的力沿立方体的棱边作用，如图所示。求该系统的合力。