高斯定理

34.1 引言

34.1.1 散度、通量和体积

计算复杂立体体积最快的方法是使用高斯定理。事实证明，向量场 $F = [x, 0, 0]$ 通过立体 $E$ 的边界曲面 $S$ 的通量就是体积。高斯定理将这个通量与场内部的产生量等同起来。如果你画出向量场 $F = [x, 0, 0]$ ，你会看到它使物体膨胀。看单位立方体。该场不流过 $y = 0$ 、 $y = 1$ 或 $z = 0$ 和 $z = 1$ 的面，因为场在那里是平行的。在 $x = 0$ 处，场为零。立方体上唯一有场通过的面是 $x = 1$ ，并且场正在离开那里。因此，内部必定产生了某些东西。这种场的产生称为散度。如果 $F = [P, Q, R]$ ，则 $div (F) = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ 。在 $F = [x, 0, 0]$ 的情况下，我们有常数散度 $1$ 。我们已经看到 $\iint_{E} div (F) d V = \iint_{S} F \cdot d S .$ 你也可以看到，对于像 $F = [0, x, 0]$ 这样的场，总通量为零，因为从一侧进入的从另一侧出去。任何线性场 $F$ 都可以表示为以下类别中场的线性组合对于这些场，散度定理成立。

**图 1.** 向量场 $F = [x, 0, 0]$ 具有常数散度 $1$ 。通过边界 $\iint_{S} F d S$ 的通量等于 $∭_{E} div (F) d V$ 。

34.1.2 高斯定律、拉普拉斯算子和牛顿定律

高斯定律 $div (F) = f = 4 π G ρ$ 描述了由质量密度 $ρ$ 和引力常数 $G$ 引起的引力场。其概念是质量是场的源。我们将看到，借助散度定理，该方程蕴含了由质量 $M$ 引起的牛顿万有引力定律 $F = M G / r^{2}$ 。由于引力场不允许永动机存在，它是一个梯度场，且 $F = \nabla V$ 。组合 $Δ = div$ (grad 被称为拉普拉斯算子。高斯定律现在产生了泊松方程 $Δ V = f$ ，该方程根据质量密度确定势 $V = Δ^{- 1} f$ 。 $Δ$ 的逆也称为格林函数。一旦有了这样的描述，我们现在就可以在任何具有拉普拉斯算子的空间上研究引力。我们可以研究球面或 $ℝ^{n}$ 等曲面上的引力，其中力与 $1 / r^{n - 1}$ 成正比。我们将在证明部分看到如何在任何有限网络上定义引力。

34.2 讲座

34.2.1 散度与高斯定理：连接积分

向量场 $F = [P, Q, R]$ 在 $ℝ^{3}$ 中的散度定义为 $div (F) = \nabla \cdot F = P_{x} + Q_{y} + R_{z} .$ 设 $G$ 是 $ℝ^{3}$ 中的一个立体，由曲面 $S$ 包围，该曲面由有限多个光滑曲面组成，其定向使得 $S$ 的法向量指向外部。散度定理或高斯定理为

定理 1. $∭_{G} div (F) d V = \iint_{S} F \cdot d S$ 。

**图 2.** 立体的边界指向外部。散度衡量在场中流动的盒子膨胀情况。 $curl (F)$ 通过闭合曲面的通量为 $0$ 。内部没有产生场。

证明。 如果 $G$ 是形如 $G = {(x, y, z) ∣ (x, y) \in U, g (x, y) \leq z \leq h (x, y)} 且 F = [0, 0, R],$ 的立体，则 $∭_{G} div (F) d V = \iint_{U} \int_{g (x, y)}^{h (x, y)} R_{z} d z d y d x$ 等于 $\iint_{G} (R (x, y, h (x, y)) - R (x, y, g (x, y))) d y d x .$ $F = [0, 0, R]$ 通过曲面 $r (u, v) = [u, v, h (u, v)]$ 的通量为 $\iint_{G} [0, 0, R (u, v, h (u, v))] \cdot [- g_{u}, g_{v}, 1] d v d u = \iint_{G} R (x, y, h (x, y)) d x d y$ 类似地，通过底面的通量为 $- \iint_{G} R (x, y, g (x, y)) d x d y$ 。一般情况下，将 $F = [P, Q, R] = [P, 0, 0] + [0, Q, 0] + [0, 0, R]$ 分解，即可得到对于同时由 $x$ 和 $y$ 、或 $y$ 和 $z$ 、或 $x$ 和 $z$ 的函数图形界定的立体，该结论成立。一般的立体可以切割成这样的立体。 ◻

34.2.2 向内还是向外？散度作为场流动的度量

该定理赋予了“散度”一词意义。一个小区域上的总散度等于通过该区域边界的场通量。如果这个值为正，则离开的场多于进入的场，表明场在内部被“产生”。散度衡量场的膨胀。例如，场 $F (x, y, z) = [x, 0, 0]$ 膨胀，而 $f (x, y, z) = [- x, 0, 0]$ 压缩。 $F (x, y, z) = [y, z, x]$ 是“不可压缩的”。

34.2.3 推广高斯定律：m维中的散度

散度定理在任何维度 $m$ 中都成立。如果 $F = [F_{1}, \dots, F_{m}]$ 是向量场，则 $\partial_{x_{1}} F_{1} + \dots + \partial_{x_{m}} F_{m}$ 被定义为 $F$ 的散度。如果 $G$ 是一个 $m$ 维区域，其边界为 $S = s (G)$ ，则 $F$ 通过 $S$ 的通量定义为 $\int_{G} F (s (u)) \cdot n (s (u)) | d s (u) |,$ 其中 $n (s (u))$ 是单位法向量。这可以通过下次介绍的微分形式语言更好地解释。

34.2.4 散度、旋度和格林定理：二维的变体

$F = [P, Q]$ 的散度定义为 $P_{x} + Q_{y}$ 。如果 $F^{⟂} = [Q, - P]$ 是旋转后的向量场，则 $div (F^{⟂}) = Q_{x} - P_{y}$ 是 $F$ 的旋度。格林定理告诉我们 $\iint_{G} curl (F) d x d y$ ，即 $\iint_{G} div (F^{⟂}) d x d y$ ，等于线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ 。 $F$ 的线积分就是 $F^{⟂}$ 的通量积分。二维散度定理就是“旋转后的”格林定理。

34.3 示例

示例 1. 问题： 计算 $F = [x, y, z]$ 通过半径为 $ρ$ 、包围球体 $G$ 的球面（指向外部）的通量。
解：由于 $div (F) = 3$ ，我们有 $∭_{G} div (F) d V = 3 Vol (G) = 3 \cdot 4 π ρ^{3} / 3.$ 通过边界的通量为 $\iint_{S} F \cdot d S$ 。在球坐标中， $F (r (ϕ, θ)) \cdot r_{ϕ} \times r_{θ} = ρ^{3} \sin (ϕ),$ 因此通量也为 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} ρ^{3} \sin (ϕ) d ϕ d θ = 4 π ρ^{3}$ 。

示例 2. 问题： 向量场 $F (x, y, z) = [6 x + y^{3}, 3 z^{2} + 8 y, 22 z + \sin (x)]$ 通过立体 $G = [0, 3] \times [0, 3] \times [0, 3] ∖ ([0, 3] \times [1, 2] \times [1, 2] \cup [1, 2] \times [0, 3] \times [1, 2] \cup [0, 3] \times [0, 3] \times [1, 2])$ 的通量是多少？该立体是一个带有三个垂直立方体空洞的立方体，这是门格尔海绵构造的第一阶段。
解：由于 $div (F) = 22 + 8 + 6 = 36$ ，结果是 $36$ 乘以立体的体积，即 $36 (27 - 7) = 720$ 。

**图 3.** 月球内部的引力使得穿过月球的电梯像谐振子一样振荡。 $F = [0, 0, z]$ 通过曲面的通量等于内部的体积。

示例 3. 问题： 在月球内部距离原点 $ρ$ 处，引力场是怎样的？
解：直接计算所有场值的和 $F (x) = \iint_{G} (x - y) / | x - y |^{3} d y$ 很困难，因为我们无法在球坐标中计算。幸运的是，我们有散度定理。场 $F (x)$ 在半径为 $ρ$ 的球面 $S (ρ)$ 上的点 $x$ 处具有恒定长度 $F (ρ) = | F (x) |$ ，并且指向内部。所以 $\iint_{S (ρ)} F \cdot d S = - 4 π ρ^{2} F (ρ) .$ 高斯能够将引力场写成一个偏微分方程，其中 $σ (x)$ 是立体的质量密度。然后我们通过散度定理看到 $∭_{B (ρ)} 4 π σ (x) d x$ 等于 $- 4 π ρ^{2} F (ρ)$ 。假设 $σ$ 是常数，我们有 $4 π (4 π ρ^{3} / 3) σ = - 4 π ρ^{2} F (ρ)$ 从而得到 $F (ρ) = (4 σ / 3) ρ$ 。场在物体内部线性增长。如果 $ρ$ 大于月球半径，则 $∭_{B (ρ)} 4 π σ (x) d x$ 为 $4 π M$ ，其中 $M = ∭_{G} σ (x) d x$ 是月球的质量。我们看到在这种情况下 $F (ρ) = M / ρ^{2}$ ，这就是牛顿定律。

示例 4. 问题： 使用散度定理计算向量场 $F (x, y, z) = [2342434 y, 2 x y, 4 y z]^{T}$ 通过顶部开口的单位立方体 $[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ 的通量。
解： $F$ 的散度为 $2 x + 4 y$ 。在单位立方体上积分得到 $1 + 2 = 3$ 。通过所有 $6$ 个面的通量为 $3$ 。通过 $z = 1$ 面的通量为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4 y d x d y = 2.$ 我们必须减去这个值，得到 $3 - 2 = 1$ 。

示例 5. 类似于格林定理允许使用线积分计算面积，区域的体积也可以计算为通量积分：取一个具有常数散度 $1$ 的向量场 $F$ ，例如 $F (x, y, z) = [0, 0, z]$ 。我们有 $\iint_{S} [0, 0, z] \cdot d S = Vol (G) .$ 例如，对于椭球面 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2}$ ，其参数化为 $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)],$ 我们有 $[0, 0, c \cos (ϕ)] [a b \sin (ϕ) \cos (ϕ)] = a b c \sin (ϕ) \cos^{2} (ϕ)$ 导致 $2 π a b c \times 2 / 3 = 4 π a b c / 3$ 。

示例 6. 计算机可以通过计算向量场 $F = [0, 0, z]$ 通过三角化曲面的通量来确定该曲面所包围立体的体积。该向量场的散度为 $1$ ，因此根据散度定理，通量即为体积。计算机使用三角形存储几何对象。假设 $A B C$ 是那个三角形。如果 $n = A B \times A C$ 指向区域外部，则通量为 $F \cdot n / 2$ 。计算机现在可以将所有这些值相加，得到体积。

**图 4.** 来自 Mathematica 示例文件的一头牛、一个克莱因瓶和一辆汽车，它们构成闭合曲面。然而，克莱因瓶没有内部。

练习

练习 1. 使用散度定理计算 $F (x, y, z) = [x^{3}, y^{3}, z^{3}]^{T}$ 通过球面 $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的通量，其中球面的定向使得法向量指向外部。

练习 2. 假设向量场 $F (x, y, z) = {[5 x^{3} + 12 x y^{2}, y^{3} + e^{y} \sin (z), 5 z^{3} + e^{y} \cos (z)]}^{T}$ 是太阳的磁场，其表面是一个半径为 $3$ 的球面，方向向外。计算磁通量 $\iint_{S} F \cdot d S$ 。

练习 3. 求向量场 $F (x, y, z) = [x y, y z, z x]^{T}$ 通过实心圆柱体 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ， $0 \leq z \leq 2$ 的通量。

练习 4. 求 $F (x, y, z) = [x + y + z, x + z, z + y]^{T}$ 通过定义在单位立方体中的门格尔海绵 $M_{n}$ 的通量，并取极限 $n \to \infty$ 。

练习 5. 计算向量场 $F (x, y, z, w) = [x + 2 y^{2}, 3 x + 4 z^{5}, 6 z + 8 w^{9}, 7 w + 9 x^{10}]^{T}$ 通过 $ℝ^{4}$ 中半径为 $1$ 的三维球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ 的通量，方向向外。

目录