《超空间微积分评述》

38.1 几何

38.1.1 ${ℝ}^4$ 基础

四维欧几里得空间 ${ℝ}^4=M(4,1)$ 是由四个实分量组成的列向量空间 $X=[x,y,z,w{]}^T$。如果我们将这样的向量视为一个点，我们也可以写成 $X=(x,y,z,w)$。点积 $=$ 内积 照常允许我们定义长度 $|X|=\sqrt{X\cdot X}$、距离 $|X-Y|$ 以及向量之间的角度 $\cos (\alpha )=(X\cdot Y)/(|X||Y|)$。笛卡尔坐标系现在有四个相互垂直的轴。历史上，由于 ${ℝ}^4$ 也是四元数的空间，习惯上将坐标方向标记为 $$1=[1,0,0,0],i=[0,1,0,0],j=[0,0,1,0],k=[0,0,0,1].$$ 例如，向量 $[3,4,5,1]$ 也可以写成 $3+4i+5j+k$。然而，我们将保留向量形式。我们将在本文的最后一节讨论为什么四元数是自然的。

38.1.2 核的维度

$1\times 4$ 矩阵 $A=[a,b,c,d]$ 的核定义了线性超平面 $$ax+by+cz+dw=0.$$ 它是一个 $3$ 维线性空间。一个例子是坐标超平面 $x=0$，它由所有点 $\{(0,y,z,w)\mid y,z,w\in ℝ\}$ 组成。更一般地，解空间 $$ax+by+dz+dw=e$$ 是一个仿射超平面。$2\times 4$ 矩阵的核通常作为两个超平面的交集，是一个 $2$ 维平面，我们简称为平面。$3\times 4$ 矩阵 $A$ 的核通常是一条直线。几何上，它是三个超平面的交集。

38.1.3 漫游超空间：从球面到超环面

一个对称的 $4\times 4$ 矩阵 $B$、一个行向量 $A\in M(1,4)$ 和一个常数 $e$ 定义了超二次曲面 $X\cdot BX+AX=e$。对于对角矩阵 $B=\mathrm{Diag}(a,b,c,d)$，这给出了二次曲面 $$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+d{w}^2=e.$$ 例子包括 $\mathbf{3}$-球面 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$、超抛物面 $x^2+y^2+z^2=w$、$3$-柱面 $x^2+y^2+z^2=1$（它是 $2$-球面与一条直线的乘积）。或者柱面-平面 $x^2+y^2=1$，它可以看作是 $1$-球面与一个 $2$-平面的乘积。有三种类型的双曲面，例如 我们可以使用莫尔斯指数作为标签，将它们称为 $\mathbf{1}$-超-双曲面、$\mathbf{2}$-超-双曲面 和 $\mathbf{3}$-超-双曲面。还有 $\mathbf{1}$-双曲抛物面 $x^2+y^2-z^2=w$，但还有更退化的曲面，如 $x^2-y^2=w$。二维环面 ${𝕋}^2$ 在这里可以实现为二次曲面。它是 $x^2+y^2=1$ 和 $z^2+w^2=1$ 的交集。这就是平坦环面。我们无法在我们的三维空间 ${ℝ}^3$ 中以平坦方式实现二维环面。但在超空间中，这是可能的。还有一个三维环面 ${𝕋}^3$。要得到参数化，从 $2$-环面参数化开始 $$r(\varphi ,\theta )=[(3+\cos (\varphi ))\cos (\theta ),(3+\cos (\varphi ))\sin (\theta ),\sin (\varphi )]$$ 然后扩展圆以得到超环面 你可以看到，对于每个固定的 $\psi$，我们都有一个 $2$-环面。我们可以计算 $$4|dr|=18+6\cos (\varphi )+6\sin (\varphi )+\sin (2\varphi )$$ 它始终为正，从而验证了从 ${𝕋}^3$ 到 ${ℝ}^4$ 的映射是局部单射的。我们还可以很容易地检查，如果 $\psi$ 或 $\theta$ 固定，我们会得到 $2$-环面的平移缩放版本。如果 $\varphi$ 固定，我们得到上面提到的平坦 $2$-环面。

38.1.4 从曲线到超曲面：在超空间中观察

在单变量微积分中，我们研究单变量函数的图形 $\{(x,y)\mid y=f(x)\}$。在多变量微积分中，我们添加双变量函数的图形 $\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}$。函数 $w=f(x,y,z)$ 的图形现在是一个 $3$ 维空间。像 $w=x^2+y^2+z^2$ 或 $w=x^2+y^2-z^2$ 这样的抛物面就是图形。另一个例子是三维钟形超曲面 $$w=f(x,y,z)={\pi }^{-3/2}{e}^{-x^2-y^2+z^2},$$ 其中常数被选择为使超体积 $0\le w\le f(x,y,z)$ 等于 $1$。出于显而易见的原因，我们通常不绘制三变量函数的图形，因为那需要在 $4$ 维空间中绘制。现在，在超空间中，我们可以做到这一点。

38.1.5 高维参数化

空间可以像我们在三维中参数化曲线或曲面一样进行参数化。一条曲线由四个单变量实函数 $x(t)$、$y(t)$、$z(t)$、$w(t)$ 定义，并写成 $$r(t)=[x(t),y(t),z(t),w(t){]}^T.$$ 一个曲面由 $$r(u,v)=[(x(u,v),y(u,v),z(u,v),w(u,v)].$$ 参数化。一个超曲面现在由 $$r(u,v,t)=[x(u,v,t),y(u,v,t),z(u,v,t),w(u,v,t)].$$ 定义。

38.1.6 ${ℝ}^4$ 中的变换

一个坐标变换由从 ${ℝ}^4$ 到 ${ℝ}^4$ 的映射定义，该映射由四个可微函数给出： $$r(u,v,s,t)=[x(u,v,s,t),y(u,v,s,t),z(u,v,s,t),w(u,v,s,t)].$$ 我们已经看到了单位 $\mathbf{3}$-球面 $=$ 超球面 $$x^2+y^2+z^2+w^2=1.$$ 的参数化 $$r(\varphi ,{\theta }_1,{\theta }_0)=[\cos (\varphi )\cos ({\theta }_1),\cos (\varphi )\sin ({\theta }_1)\sin (\varphi )\cos ({\theta }_2),\sin (\varphi )\sin ({\theta }_2)]$$ 因为 $z=x^2+y^2+z^2$ 是一个柱面，所以在四维中也有一个自然的柱坐标系。它由 $$r(\rho ,\varphi ,\theta ,w)=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi ),w].$$ 给出。如果我们写出雅可比矩阵并计算行列式，我们会得到 ${\rho }^2\sin (\varphi )$，就像在球坐标中一样。

38.2 场

38.2.1 ${ℝ}^4$ 中的微分形式

一个标量函数 $f(x,y,z,w)$ 也被称为 $0$-形式。一个向量场用 $F=[P,Q,R,S{]}^T$ 表示，一个 $\mathbf{1}$-形式 $F=[P,Q,R,S]$ 写成 $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw.$$ 一个 $\mathbf{2}$-形式 $F$ 有 $6$ 个分量： $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydz+Rdzdw.$$ 一个 $\mathbf{3}$-形式 又有四个分量 $$Pdydzdw+Qdxdzdw+Rdxdydw+Sdxdydz$$ 而一个 $\mathbf{4}$-形式 再次完全由一个标量函数 $f$ 决定，因为 $$F=fdxdydzdw.$$

38.2.2 形式的外微分

外微分通过使用反交换律来计算，例如 $$dxdy=-dydx\text{and}df=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz+f_{w}dw$$ 并将其扩展到像 这样的项。对于一个 $1$-形式 $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ 我们有 简化为包含 $6$ 项的表达式。这是因为像 $P_{yz}dzdydx$ 这样的每一项都与像 $P_{zy}dydzdx$ 这样的项配对并抵消。对于一个 $2$-形式 我们有 简化为 对于一个 $3$-形式 $$F=Pdydzdw+Qdzdwdx+Rdwdxdy+Sdxdydz$$ 我们有 $$dF=(P_x-Q_y+R_z-S_w)dxdydzdw.$$

38.2.3 场上的微分算子

函数 $f(x,y,z,w)$ 的梯度定义为 $$\mathrm{\nabla }f(x,y,z,w)=d{f}^T=[f_x,f_y,f_z,f_w{]}^T.$$ 向量场 $F(x,y,z,w)=[F_1,F_2,F_3,F_4{]}^T$ 的旋度是超场 $$dF=[F_{12},F_{13},F_{14},F_{23},F_{24},F_{34}{]}^T,$$ 其中我们只是选择了字典序，并且 $F_{ij}={\partial }_{x_j}{F}_i-{\partial }_{x_i}{F}_j$。超向量场 $$F(x,y,z,w)=[F_{12},F_{13},F_{14},F_{21},F_{23},F_{34}]$$ 的超旋度是一个 $3$-形式，但可以再次与一个向量场相关联 $$dF=[F_{234},F_{134},F_{124},F_{123}{]}^T.$$ 向量场 $F=[P,Q,R,S]$ 的散度是一个 $4$-形式 $$(P_x+Q_y+R_z+S_w)dxdydzdw$$ 但可以再次与一个标量场相关联。

38.2.4 微分算子之间的关系

以下是我们已经看到的一些性质。梯度 $\mathrm{\nabla }f=d{f}^T$ 垂直于水平曲面 $f(x,y,z,w)=c$。梯度的旋度为零。旋度的超旋度为零。超旋度的散度为零。梯度的散度是拉普拉斯算子（使用等同关系，散度映射可以等同于伴随算子 $-d^{\ast }$）。链式法则是

38.2.5 ${ℝ}^4$ 中的积分

向量场 $F$ 沿曲线 $C$ 的线积分为 向量场 $F$ 沿 $2$ 维曲面的通量积分即为通量积分。超场 $F$ 沿曲面的超通量积分。函数 $f$ 在立体 $G$ 上的超体积积分为 $${⨌}_{G}f(x,y,z,w)dxdydzdw.$$

38.3 定理

38.3.1 ${ℝ}^4$ 中线积分的基本定理

线积分的基本定理为：

38.3.2 斯托克斯定理

斯托克斯定理指出，对于曲面 $S$ 和 $1$ 形式 $F$：

38.3.3 高维斯托克斯定理

超斯托克斯定理保证，对于超曲面 $S$ 和 $2$ 形式 $F$，$F$ 的超旋度通过 $G$（一个 $3$ 维积分）的通量等于 $F$ 通过边界曲面 $S$（一个 $2$ 维积分）的通量：

38.3.4 散度定理

散度定理保证，对于 $3$ 形式（视为向量场 $F$）和具有边界超曲面 $S$ 的立体 $G$，我们有：

38.4 四元数

38.4.1 李群：从面团到粒子

超空间 ${ℝ}^4$ 很特殊：它是唯一一个单位球面是非阿贝尔李群的欧几里得空间。李群 $G$ 是一个流形¹ $r({ℝ}^m)\subset {ℝ}^n$，其上有一个群运算 $x\ast y$，该运算具有性质：对于每个 $y$，映射 $x\to x\ast y$ 和 $x\to y\ast x$ 是 $G$ 上的光滑映射。要构成一个群 $(G,\ast )$，我们必须有性质 $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$，并且存在一个$\mathbf{1}$元素 $1\ast x=x\ast 1=x$，使得每个元素 $x$ 都有一个逆元 $x^{-1}$ 满足 $x\ast x^{-1}=1$。圆 $$\{x^2+y^2=1\}=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$$ 是一个群的例子。如果对所有 $x,y\in G$ 有 $x\ast y=y\ast x$，则此乘法是阿贝尔的。复平面 $ℂ={ℝ}^2$ 被刻画为唯一一个单位球面 ${𝕋}^1=\{|x|=1\}$ 是阿贝尔李群的欧几里得空间 ${ℝ}^n$。为什么是李群？它们是面团，基本粒子由此烘焙而成！例如，电磁学就是基于 ${𝕋}^1$ 构建的。

38.4.2 从向量到可除代数

我们也可以将 ${ℝ}^4$ 中的向量写成 $$v=a+ib+jc+kd$$ 其中 $i$、$j$、$k$ 是符号。哈密顿注意到，当定义 $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$ 时，这个 $4$ 维空间就变成了一个代数。代数是一个线性空间，同时具有乘法运算。我们已经有了 $M(2,2)$，即 $2\times 2$ 矩阵的空间，它是一个 $4$ 维代数，但哈密顿发现的代数是一个可除代数：每个非零元素都可逆。对于 $M(2,2)$ 来说并非如此。例如，所有元素都是 $1$ 的矩阵非零但也不可逆。

38.4.3 四元数基础：共轭与范数

哈密顿通过关系 $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$ 定义的代数称为四元数代数 $ℍ$。如果 $$\overline{v}=a-ib-jc-kd,$$ 那么 $|v{|}^2=v\cdot v=v\overline{v}$，其中右边是四元数乘法。可以很容易验证 $|vw|=|v||w|$。原因是四元数 $v$ 可以实现为复 $2\times 2$ 矩阵：如果 那么 $|v|=\det (A(v))$ 且 $A(v)A(w)=A(vw)$。你最喜欢的 AI 可以帮助快速验证最后一个恒等式。

38.4.4 可除代数

具有性质 $|v\ast w|=|v||w|$ 的代数是一个赋范可除代数。根据赫维茨和弗罗贝尼乌斯定理，只有四个：实数 $ℝ$、复数 $ℂ$、四元数 $ℍ$ 和八元数 $𝕆$。对于结合可除代数，单位球面是一个李群。因为 $ℝ$ 的单位球面只有两个点，$1$ 维圆 $\{|z|=1\}\subset ℂ$ 和 $3$ 维球面 $\{|z|=1\}\subset ℍ$ 是仅有的作为李群的球面。有一个唯一的非交换的，即 $3$ 维球面，以及一个唯一的交换连通的，即 $1$ 维球面。