解题方法：文学范例

已见过的原则

1. 归纳法（唯一行简化阶梯形定理）
2. 反证法（克莱罗定理）
3. 变形法（霍普夫绕数定理）
4. 不变量（岛屿上的莫尔斯指数）

波利亚原则

1. 理解问题：未知量、数据、画图。
2. 制定计划：有类似或相关的问题吗？
3. 执行计划：检查每一步。
4. 检查解答：其他问题也能这样解决吗？

问题A：在三角形$T$中内接一个正方形$Q$，使得$Q$的两个顶点在$T$的底边上，且$T$的另外两边各包含$Q$的一个顶点。

问题B：水以每秒一立方米的恒定速率流入一个圆锥形容器$x^2+y^2=z^2$，$z\ge 0$。当水深为$z$米时，水位上升的速率是多少？

问题C：一个整数$n$与$n^5$有相同的最后一位数字。

问题D：如果$k$是一个正奇数，那么$1^k+2^k+\cdots +n^k$能被$n+1$整除。

问题E：$1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$。

陶哲轩的变形原则

1. 考虑特殊、极端或退化情况。
2. 解决问题的简化版本。
3. 提出一个猜想。
4. 推导出能达成目标的中间步骤。
5. 重新表述，特别是尝试逆否命题。
6. 检查类似问题的解答。
7. 推广问题。

珀金斯

1. 长期探索。$99$%的汗水。工作数年或数十年。
2. 几乎没有明显进展。许多失败。
3. 一个触发事件。可能是外部环境。
4. 一个认知上的顿悟。通常一闪而过。尤里卡！
5. 转化。充实它。得出推论。

问题F：有人带了一枚古币给博物馆馆长，想出售。硬币上印着公元前540年。馆长非但没有考虑购买，反而报了警。为什么？

问题G：你正驾驶一辆吉普车穿越撒哈拉沙漠。你遇到一个人面朝下躺在沙子里，死了。周围没有任何足迹。几天来没有风可以破坏足迹。你查看那人背包里的东西。你发现了什么？

波萨门蒂尔-克鲁利克

问题H：我们有一个$5\times 5$的学生座位安排。老师希望每个学生都换位置，移到左边、右边、前面或后面的座位。这可能吗？通过先观察较小的教室，如$2\times 2$或$3\times 3$或$2\times 3$，来解决这个问题。在哪些情况下是可能的？