线积分

29.1 引言

29.1.1 积分探险：线积分起飞

今天，我们学习如何将微积分基本定理 推广到更高维度。区间 $[a, b]$ 现在被一条曲线取代，导数变为 $\frac{d}{d t} f (r (t))$ ，根据链式法则，它等于。如果我们将此从 $a$ 积分到 $b$ ，就得到线积分基本定理。 梯度场 $\nabla f (x)$ 可以推广到一般的向量场 $x \to F (x)$ ，这是一个给每个点分配一个向量的映射。

**图 1.** 向量场 $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]^{T} = [x - y - (x^{2} + y^{2}), x + y - y (x^{2} + y^{2})]^{T}$ 显示了一些追踪该场的流线。在这种情况下，存在一条单一的流线，它是一个圆。所有东西都被它吸引。它被称为极限环。**希尔伯特** **$16$** **第问题**要求给出如果 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 、 $y$ 的 $n$ 次多项式时，可能的极限环数量的上限。该问题尚未解决。

29.1.2 何时向量场是梯度场？

我们想要回答的问题之一是，在什么条件下，一般的向量场 $F$ 是梯度场 $F = \nabla f$ 。原因是，如果是这种情况，那么积分很容易计算。如果 $F$ 是梯度场，结果是 $f (r (b)) - f (r (a))$ 。然而，一般来说，向量场不是梯度场。在上图中，我们看到一个例子。但并非所有希望都破灭了。我们将在接下来的两周内学习，在某些情况下，例如路径是闭合的，我们有其他方法计算线积分。

29.1.3 试水：利用线积分计算功

思考线积分的一个好方法是将其视为机械功。那么向量场 $F$ 被视为力场，力与速度的乘积是功率，它是一个标量。对功率在时间上积分得到功。当 $F$ 是梯度场 $F = \nabla f$ 时， $f$ 被视为势能。线积分基本定理现在告诉我们，在一段时间内所做的功就是势能差。并不一定要采用这种图像。这个设定纯粹是数学上的，但为了记住它，将其与我们已知的概念联系起来可能会有所帮助。例如，如果你骑自行车，那么施加在踏板上的力和速度都很重要。

29.2 讲座

29.2.1 线积分：功率与功

向量场 $F$ 给每个点 $x \in ℝ^{n}$ 分配一个向量 $F (x) = [F_{1} (x), \dots, F_{n} (x)]^{T}$ ，使得每个 $F_{k} (x)$ 都是连续函数。我们将 $F$ 视为力场。设 $t \to r (t) \in ℝ^{n}$ 是在 $[a, b]$ 上参数化的曲线。积分称为 $F$ 沿 $C$ 的线积分。我们将视为功率，将 $\int_{C} F \cdot d r$ 视为功。尽管 $F$ 和 $r$ 是列向量，但为了避免混乱，在本讲座中我们写作 $[F_{1} (x), \dots, F_{n} (x)]$ 和。从数学上讲， $F : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ 也可以看作坐标变换，但我们以不同的方式思考它，并在每个点 $x$ 处绘制一个向量 $F (x)$ 。

29.2.2 沿圆周所做的功

如果 $F (x, y) = [y, x^{3}]$ ，并且 $r (t) = [\cos (t), \sin (t)]$ 是一个圆，其中 $0 \leq t \leq 2 π$ ，那么 $F (r (t)) = [\sin (t), \cos^{3} (t)]$ 且，因此功为 $\int_{C} F \cdot d r = \int_{0}^{2 π} (- \sin^{2} (t) + \cos^{4} (t)) d t = - π / 4.$ 图 (29.1) 显示了这种情况。我们逆着场的方向比顺着场的方向走得多。

29.2.3 路径无关性：何时路径不重要？

如果存在某个可微函数 $f$ 使得 $F (x) = \nabla f (x)$ ，则向量场 $F$ 称为梯度场。我们将 $f$ 视为势函数。向量微积分中的第一个主要定理是 $ℝ^{n}$ 中梯度场的线积分基本定理：

定理 1. 。

证明。 根据链式法则， 微积分基本定理现在给出 $\int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (r (t)) d t = f (r (b)) - f (r (a)) .$ ◻

29.2.4 路径无关性与闭合回路

作为推论，我们立即得到路径无关性

如果 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 是从 $A$ 到 $B$ 的两条曲线，则 $\int_{C_{1}} F \cdot d r = \int_{C_{2}} F \cdot d r$ ，

以及闭合回路性质：

如果 $C$ 是闭合曲线且 $F = \nabla f$ ，则 $\int_{C} F \cdot d r = 0$ 。

29.2.5 克莱罗准则

每个向量场 $F$ 都是梯度场吗？让我们看看 $n = 2$ 的情况，其中 $F = [P, Q]$ 。现在，如果这等于 $[f_{x}, f_{y}] = [P, Q]$ ，那么 $P_{y} = f_{x y} = f_{y x} = Q_{x}$ 。我们看到 $Q_{x} - P_{y} = 0$ 。更一般地，我们有下面的克莱罗准则：

定理 2. 如果 $F = \nabla f$ ，则 $curl (F)_{i j} = \partial_{x_{j}} F_{i} - \partial_{x_{i}} F_{j} = 0$ 。

证明。 这是克莱罗定理的一个推论。 ◻

29.2.6 寻找势函数

例如，场 $F = [0, x]$ 满足 $Q_{x} - P_{y} = 1$ 。它不可能是梯度场。现在，如果 $Q_{x} - P_{y} = 0$ 在平面上处处成立，我们如何找到势函数 $f$ ？

对 $x$ 积分 $f_{x} = P$ ，并加上一个常数 $C (y)$ 。

对 $y$ 求导 $f$ ，并将 $f_{y}$ 与 $Q$ 进行比较。解出 $C (y)$ 。

29.2.7 梯度场势函数

示例： 求 $F (x, y) = [P, Q] = [2 x y^{2} + 3 x^{2}, 2 x^{2} y + 3 y^{2}] .$ 的势函数。我们有 $f (x, y) = \int_{0}^{x} (2 t y^{2} + 3 t^{2}) d t + C (y) = x^{3} + x^{2} y^{2} + C (y) .$ 现在所以或 $C (y) = y^{3}$ ，并且 $f = x^{3} + x^{2} y^{2} + y^{3}$ 。

29.2.8 势函数的线积分公式

这是势函数的直接公式。设 $C_{x y}$ 是从 $(0, 0)$ 到 $(x, y)$ 的直线路径。

定理 3. 如果 $F$ 是梯度场，则 $f (x, y) = \int_{C_{x y}} F \cdot d r$ 。

证明。 根据线积分基本定理，我们可以将 $C_{x y}$ 替换为从 $(0, 0)$ 到 $(x, 0)$ 的路径 $[t, 0]$ ，然后通过 $[x, t]$ 到 $(x, y)$ 。线积分为我们看到 $f_{y} = Q (x, y)$ 。如果我们改用从 $(0, 0)$ 到 $(0, y)$ 再到 $(x, y)$ 的路径，线积分为现在， $f_{x} = P (x, y)$ 。 ◻

**图 3.** 对于 $f (x, y) = y^{2} + 4 y x^{2} + 4 x^{2}$ 的向量场 $F = \nabla f$ 。我们看到流线，即满足的曲线。顺流而行会增加 $f$ ，因为等于 $d / d t f (r (t))$ 。

29.3 示例

示例 1. 对于曲线 $r (t) = [t \cos (t), t \sin (t)]$ ，其中 $t \in [0, 2 π]$ ，求 $\int_{C} [2 x y^{2} + 3 x^{2}, 2 x^{2} y + 3 y^{2}] \cdot d r$ 。
答案：我们已经找到 $F = \nabla f$ ，其中 $f = x^{3} + x^{2} y^{2} + y^{3}$ 。曲线起点为 $A = (1, 0)$ ，终点为 $B = (2 π, 0)$ 。解为 $f (B) - f (A) = 8 π^{3}$ 。

示例 2. 如果 $F = E$ 是电场，则线积分是电势。在天体力学中，如果 $F$ 是引力场，则是引力势差。如果 $f (x, y, z)$ 是温度， $r (t)$ 是房间里一只苍蝇的路径，那么 $f (r (t))$ 是苍蝇在时间 $t$ 在点 $r (t)$ 处经历的温度。苍蝇经历的温度变化是 $\frac{d}{d t} f (r (t))$ 。温度梯度 $\nabla f$ 沿苍蝇路径的线积分等于温度差。

29.3.1 为什么永动机不工作

实现非梯度力场的装置称为永动机。它实现了一个力场，在该力场中，沿某个闭合回路的能量增益为正。热力学第一定律禁止此类机器的存在。思考人们提出的想法并理解它们为何行不通是很有启发性的。我们将在研讨会上看一些例子。

29.3.2 向量场F与单位圆之谜

设 $F (x, y) = [P, Q] = [\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}] .$ 其势函数 $f (x, y) = \arctan (y / x)$ 具有性质 $f_{x} = (- y / x^{2}) / (1 + y^{2} / x^{2}) = P, f_{y} = (1 / x) / (1 + y^{2} / x^{2}) = Q .$ 在研讨会上，你会思考这样一个谜题：沿单位圆的线积分不为零：向量场 $F$ 被称为涡旋。

**图4.** 涡旋向量场在 $(0, 0)$ 处有一个奇点。所有旋度都集中在 $(0, 0)$ 处。

练习

练习1. 设 $C$ 为空间曲线 $r (t) = [\cos (t), \sin (t), \sin (t)]$ ，其中 $t \in [0, π / 2]$ ，且设 $F (x, y, z) = [y, x, 15]$ 。计算线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ 。

练习2. 在力场 $F (x, y) = [2 x^{3} + 1, 4 π \sin (π y^{4}) y^{3}]$ 中沿四次曲线 $y = x^{4}$ 从 $(- 1, 1)$ 移动到 $(1, 1)$ 所做的功是多少？

练习3. 设 $F$ 为向量场 $F (x, y) = [- y, x] / 2$ 。计算 $F$ 沿曲线 $r (t) = [a \cos (t), b \sin (t)]$ （宽度为 $2 a$ ，高度为 $2 b$ ）的线积分。结果应依赖于 $a$ 和 $b$ 。

练习4. 阿基米德在热水浴缸中沿曲线 $x^{22} + y^{22} = 1$ 游动，水的速度为 $F (x, y) = [3 x^{3} + 5 y, 10 y^{4} + 5 x] .$ 计算从 $(1, 0)$ 沿曲线移动到 $(- 1, 0)$ 时的线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ 。

练习5. 找到一条闭合曲线 $C : r (t)$ ，使得向量场 $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)] = [x y, x^{2}]$ 满足。

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