第二小时

28.1 第二次小测关键词

这有点像一份清单。请制作你自己的清单。但这里有一份力求全面的清单。勾选你已掌握的主题，并回顾那些你不记得的内容。你需要将以下内容熟记于心。

28.1.1 偏导数

$f_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ 偏导数
$L (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$ 线性近似
$Q (x, y) = L (x_{0}, y_{0}) + f_{x x} (x - x_{0})^{2} / 2 + f_{y y} (y - y_{0})^{2} / 2 + f_{x y} (x - x_{0}) (y - y_{0})$ 二次近似
$L (x, y)$ 在 $f (x_{0}, y_{0})$ 附近估计 $f (x, y)$ 。结果为 $f (x_{0}, y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})$
切线： $a x + b y = d$ ，其中 $a = f_{x} (x_{0}, y_{0})$ ， $b = f_{y} (x_{0}, y_{0})$ ， $d = a x_{0} + b y_{0}$
切平面： $a x + b y + c z = d$ ，其中 $a = f_{x}$ ， $b = f_{y}$ ， $c = f_{z}$ ， $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$
在 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 附近用 $L (x, y, z)$ 估计 $f (x, y, z)$
$f_{x y} = f_{y x}$ 克莱罗定理，如果 $f_{x y}$ 和 $f_{y x}$ 连续。
$r_{u} (u, v)$ ， $r_{v} (u, v)$ 与由 $r (u, v)$ 参数化的曲面相切

28.1.2 偏微分方程

$f_{t} = f_{x x}$ 热方程
$f_{t t} - f_{x x} = 0$ 波动方程
$f_{x} - f_{t} = 0$ 输运方程
$f_{x x} + f_{y y} = 0$ 拉普拉斯方程
$f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ 伯格斯方程
$f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ 程函方程
$f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ 布莱克-斯科尔斯方程

28.1.3 梯度

$\nabla f (x, y) = d f^{T} = [f_{x}, f_{y}]^{T}$ ， $\nabla f (x, y, z) = [f_{x}, f_{y}, f_{z}]^{T}$ ，梯度
$D_{v} f = \nabla f \cdot v$ 方向导数
链式法则
$\nabla f (x_{0}, y_{0})$ 垂直于包含 $(x_{0}, y_{0})$ 的等高线 $f (x, y) = c$
$\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 垂直于包含 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的等值面 $f (x, y, z) = c$
$\frac{d}{d t} f (x + t v) = D_{v} f$ 由链式法则
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (z - z_{0}) f_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ 切平面
$f (x, y)$ 沿 $\nabla f / | \nabla f |$ 方向增加。函数向上舞动。
$f (x, y, z) = c$ 定义了 $z = g (x, y)$ ，且 $g_{x} (x, y) = - f_{x} (x, y, z) / f_{z} (x, y, z)$ 隐函数求导

28.1.4 极值

$\nabla f (x, y) = [0, 0]^{T}$ ，临界点或驻点
$D = f_{x x} f_{y y} - f_{x y}^{2} = \det (d f)$ 判别式，用于二阶导数检验
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的邻域内成立，局部最大值
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的邻域内成立，局部最小值
$\nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y)$ ， $g (x, y) = c$ ，或 $\nabla g = 0$ 拉格朗日方程
二阶导数检验： $\nabla f = (0, 0)$ ， $D > 0$ ， $f_{x x} < 0$ 局部最大值， $\nabla f = (0, 0)$ ， $D > 0$ ， $f_{x x} > 0$ 局部最小值， $\nabla f = (0, 0)$ ， $D < 0$ 鞍点
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ 处处成立，全局最大值
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ 处处成立，全局最小值
如果海森矩阵 $H = d^{2} f$ 在每个临界点处可逆，则 $f$ 是莫尔斯函数

28.1.5 二重积分

$\iint_{R} f (x, y) d y d x$ 二重积分
$\int_{a}^{b} \int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y d x$ 自下而上区域
$\int_{c}^{d} \int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x d y$ 自左而右区域
$\iint_{R} f (r, θ) r d r d θ$ 极坐标
$\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 表面积
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$ 富比尼定理
$\iint_{R} 1 d x d y$ 区域 $R$ 的面积
$\iint_{R} f (x, y) d x d y$ 由 $f$ 图形和 $x y$ 平面围成的有符号体积

28.1.6 三重积分

$∭_{R} f (x, y, z) d z d y d x$ 三重积分
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x$ 长方体上的积分
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \int_{h_{1} (x, y)}^{h_{2} (x, y)} f (x, y) d z d y d x$ 类型I区域
$∭_{R} f (r, θ, z) r d z d r d θ$ 柱坐标下的积分
$∭_{R} f (ρ, θ, ϕ) ρ^{2} \sin (ϕ) d ρ d ϕ d θ$ 球坐标下的积分
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x = \int_{u}^{v} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z$ 富比尼定理
$V = ∭_{E} 1 d z d y d x$ 立体 $E$ 的体积
$M = ∭_{E} f (x, y, z) d z d y d x$ 密度为 $f$ 的立体 $E$ 的质量

28.1.7 一般建议

在高维积分时画出区域。
如果积分不奏效，考虑其他坐标系。
如果积分不奏效，考虑改变积分顺序。
对于切平面，先计算梯度 $[a, b, c]^{T}$ ，然后确定常数。
处理地形问题时，注意梯度。

28.1.8 定理

克莱罗定理、泰勒定理、富比尼定理、岛屿定理、球体与球体积、莫尔斯定理、链式法则、梯度定理、变量替换

28.1.9 人物

克莱罗、富比尼、拉格朗日、费马、黎曼、阿基米德、哈密顿、欧拉、泰勒、莫尔斯、霍普夫、陶哲轩、波利亚、黎曼

28.2 第二次小测（练习A）

你只需要这本小册子和书写工具。请收起任何其他材料和电子设备。记住荣誉准则。
请书写工整并提供细节。除了问题28.2和28.3，我们希望看到细节，即使答案对你来说显而易见。
尽量在同一页上回答问题。每页背面也有空间。
如果你在其他地方完成了问题，请在问题页上注明，以便我们找到。
你有75分钟时间完成这次小测。

阿基米德送来了他的好运祝福。遗憾的是他无法加入我们，因为他“正忙于证明一个新定理”。他刚刚给我们发来了他的自拍。哦，这些名人啊！

问题28A.1（10分）：

（4分）证明如果 $x^{3}$ 是无理数，那么 $x$ 是无理数。
（3分）证明或反驳：两个奇整数的乘积是奇数。
（3分）证明或反驳：两个奇整数的和是奇数。

问题28A.2（10分，每题1分）：

偏微分方程 $f_{t t} = f_{x x}$ 的名称是什么？
级数 $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / k! = 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + \dots$ 表示一个函数。是哪一个？
$f (x, y (x)) = 1$ 的隐函数求导公式是。
函数 $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ 的名称是什么？
在一个圆形岛屿上，高度 $f$ 恰好有 $3$ 个最大值和1个最小值。假设 $f$ 是一个莫尔斯函数，有多少个鞍点？
哪位数学家首先求出了球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ 的体积值？
对或错：在 $\nabla f$ 不为零的点处， $f$ 沿方向 $\nabla f (x) / | \nabla f (x) |$ 的方向导数为负。
方程求解一个偏微分方程。是哪一个？
由 $r (u, v)$ 在区域 $R$ 上参数化的曲面 $S$ 的表面积公式是什么？
转换为球坐标 $(ρ, ϕ, θ)$ 时的积分因子（= 畸变因子）是什么？

问题28A.3（10分，每题2分）：

我们看到一个莫尔斯函数 $f$ 的等高线。通过 $A B C$ 的圆有时会作为约束条件 $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 1$ 。在所有问题中，我们只从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $J$ 、 $K$ 、 $L$ 、 $M$ 中选择点。

在约束条件 $g (x, y) = 1$ 下，哪些点是 $f$ 的局部最小值点？
在约束条件 $g (x, y) = 1$ 下，哪些点是 $f$ 的局部最大值点？
在哪些点处有 $f_{x} (x, y) \cdot f_{y} (x, y) \neq 0$ ？
在哪些点处 $| \nabla f (x, y) |$ 最大？
在哪些点处 $| \nabla f (x, y) |$ 最小？

问题28A.4（10分）：

（5分）求曲面 $f (x, y, z) = x^{2} y - x^{3} + y^{2} + z^{4} x y = - 13$ 在点 $(2, - 1, 1)$ 处的切平面。
（5分）通过线性近似估计 $f (2.001, - 0.99, 1.1)$ 。

问题28A.5（10分）：

（5分）求 $f (x, y) = 5 + x + y + x^{2} + 3 y^{2} + \sin (x y) + e^{x}$ 在 $(x, y) = (0, 0)$ 处的二次近似 $Q (x, y)$ 。
（5分）使用二次近似估计 $f (0.001, 0.02)$ 的值。

问题28A.6（10分）：

（8分）使用二阶导数检验对函数 $f (x, y) = x^{2} - y^{3} + 2 x + 3 y$ 的临界点进行分类。
（2分）函数 $f (x, y)$ 是否有全局最小值或全局最大值？

问题28A.7（10分）：

使用拉格朗日优化方法，求使得拱形面积 $f (x, y) = 2 x^{2} + 4 x y + 3 y^{2}$ 最小，同时周长 $g (x, y) = 8 x + 9 y = 33$ 固定的参数 $(x, y)$ 。

问题 28A.8 (10 分)：

(5 分) 求四分之一圆域 $G = {x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \leq 0}$ 的转动惯量 $I = \iint_{G} (x^{2} + y^{2}) d y d x$ 。
(5 分) 计算二重积分 $\int_{1}^{e} \int_{\log (x)}^{1} \frac{y}{e^{y} - 1} d y d x$ ，其中 $\log$ 如常表示自然对数。

问题 28A.9 (10 分)：

求函数 $f (x, y, z) = x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{4}$ 在立体区域 $E = {(x, y, z) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z \geq 0}$ 上的三重积分 $∭_{E} f (x, y, z) d z d y d x$ 。

问题 28A.10 (10 分)：

求曲面 $r (x, y) = [\begin{matrix} 2 x \\ y \\ \frac{x^{3}}{3} + y \end{matrix}]$ 在 $0 \leq x \leq 2$ 且 $0 \leq y \leq x^{3}$ 上的表面积。

28.3 第二次阶段考（练习 B）

问题 28B.1 (10 分)：

(4 分) 已知正整数 $n^{5}$ 是奇数。证明 $n$ 是奇数。
(3 分) 证明或证伪：如果 $a$ 和 $b$ 是无理数，那么 $a b$ 是无理数。
(3 分) 证明或证伪：如果 $a$ 和 $b$ 是无理数，那么 $a + b$ 是无理数。

问题 28B.2 (10 分，每个子问题 1 分)：

微分方程 $f_{t} = f_{x x}$ 的名称是什么？
需要满足什么假设才能使 $f_{x y} = f_{y x}$ 成立？
梯度 $\nabla f (x_{0})$ 与 $f (x) = c$ （其中 $c = f (x_{0})$ ）有何关系？
$f$ 在 $x_{0}$ 处的线性近似为 $L (x) = f (x_{0}) + \dots$ 。补全公式。
假设 $f$ 在 $g = c$ 上有最大值，那么要么 $\nabla f = λ \nabla g$ ， $g = c$ 成立，要么……
哪位数学家证明了积分次序交换公式？
对还是错：梯度向量 $\nabla f (x)$ 与 $d f (x)$ 相同。
方程 $u_{t} + u u_{x} = u_{x x}$ 是一个微分方程的例子。我们学过两种主要类型（每个都是三个大写字母的缩写）。它属于哪种类型？
曲线 $C$ 的弧长公式是什么？
转换为极坐标时，积分因子 $| d ϕ |$ 是什么？

问题 28B.3 (10 分，每个子问题 2 分)：

我们看到一个莫尔斯函数 $f$ 的等高线。只从点 $A$ - $J$ 中选择。

哪个点是判别式 $D = \det (d^{2} f) < 0$ 的临界点？
在哪个点有 $f_{x} > 0$ ， $f_{y} = 0$ ？
在哪个点有 $f_{x} > 0$ ， $f_{y} > 0$ ？
在施加约束 $g (x, y) = y = y_{0}$ 时，哪些 $(x_{0}, y_{0})$ 是 $f$ 的临界点？
在施加约束 $g (x, y) = x = x_{0}$ 时，哪些 $(x_{0}, y_{0})$ 是 $f$ 的临界点？

问题 28B.4 (10 分)：

(5 分) 求曲面 $x y z + x^{5} y + z = 11$ 在点 $(1, 2, 3)$ 处的切平面。
(5 分) 在 $(x, y) = (1, 2)$ 附近，我们可以写成 $z = g (x, y)$ 。求 $g_{x} (1, 2)$ ， $g_{y} (1, 2)$ 。

问题 28B.5 (10 分)：

求 $f (x, y, z) = 1 + x + y^{2} + z^{3} + \sin (x y z)$ 在 $(0, 0, 0)$ 处的二次近似。
使用线性近似估计 $f (0.01, 0.03, 0.05)$ 。

问题 28B.6 (10 分)：

(8 分) 使用二阶导数检验对函数 $f (x, y) = x^{12} + 12 x^{2} + y^{12} + 12 y^{2}$ 的临界点进行分类。
(2 分) $f$ 有全局最小值吗？ $f$ 有全局最大值吗？

问题 28B.7 (10 分)：

在麻省理工学院一栋建筑的顶部，有一个球冠形状的雷达穹顶。内部人士称其为“死星”雷达穹顶。我们知道，给定高度 $h$ 和底面半径 $r$ ，体积和表面积由 $V = π r h^{2} - π h^{3} / 3$ ， $A = 2 π r h = π$ 给出。这导致在约束 $g (x, y) = 2 x y = 1$ 下求 $f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{3}}{3}$ 的极值问题。使用拉格朗日乘数法求 $f$ 在此约束下的最小值！

问题 28B.8 (10 分)：

计算 $\iint_{R} 5 / (x^{2} + y^{2}) d x d y$ ，其中 $R$ 是区域 $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25$ ， $y^{2} > x^{2}$ 。

问题 28B.9 (10 分)：

在由和 $x + y + z = 1$ 围成的立体区域 $E$ 上对 $f (x, y, z) = z$ 进行积分。

问题 28B.10 (10 分)：

曲面 $r (x, y) = [\begin{matrix} 2 y \\ x \\ \frac{y^{3}}{3} + x \end{matrix}]$ 在 $0 \leq y \leq 2$ 且 $0 \leq x \leq y^{3}$ 上的表面积是多少？

28.4 第二次阶段考

问题 28.1 (10 分)：

(3 分) 证明或证伪：一个有理数与一个无理数的乘积是无理数。
(3 分) 证明或证伪：两个无理数的乘积是无理数。
(2 分) 证明或证伪：两个形如 $4 k - 1$ 的数的乘积是形如 $4 k - 1$ 的数。
(2 分) 证明或证伪：两个形如 $4 k + 1$ 的数的乘积是形如 $4 k + 1$ 的数。

问题 28.2 (10 分，每个问题 1 分)：

偏微分方程 $f_{t} = f f_{x}$ 的名称是什么？
级数 $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots$ 表示一个函数。是哪个函数？
对于 $f (x, y, z (x)) = 1$ 的隐函数微分公式是 $z_{x} (x) = \dots \dots$ 。
计算 $ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ 在 $s = 2$ 处的值的问题被称为 $\dots \dots$ 问题。
是否可能在一个 $2$ 维球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 上存在一个莫尔斯函数，它有 $3$ 个极大值点， $1$ 个极小值点和 $3$ 个鞍点？
谁证明了可以在矩形上改变积分次序？该结果被称为……定理。
你在数据空间 $ℝ^{n}$ 中使用莫尔斯函数 $f$ 衡量进展。你位于一个非临界点。你需要朝哪个方向改变参数才能使 $f$ 变大？
函数 $f (x, t) = \sin (x + t) + \sin (x - t)$ 是基本偏微分方程之一的解。是哪一个？
坐标变换 $r : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, (x, y, z) \to (3 x, 4 y, 7 z) ?$ 的扭曲因子是多少？
你身处极乐世界，一个环形的人造栖息地，其上山丘的高度函数是一个莫尔斯函数。有 $5$ 座山丘（极大值点）和 $2$ 个洼地（极小值点）。在极乐世界上有多少个鞍点？

问题 28.3 (10 分，每个问题 1 分)：

我们看到一个莫尔斯函数 $f$ 的等高线。在每个问题中，我们从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ， $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ 中精确选择一个点。点可能多次出现，有些点可能不出现。

哪个点是局部极大值点？
哪个点是局部极小值点？
哪个点是鞍点？
在约束 $g (x, y) = y = 0$ 下，哪个点是 $f$ 的局部极小值点？
在约束 $g (x, y) = y = 0$ 下，哪个点是 $f$ 的局部极大值点？
在所有点中，哪个点的 $| \nabla f (x, y) |$ 最大？
在哪个点 $f_{x} (x, y)$ 为正且 $f_{y} (x, y) = 0$ ？
在哪个点 $f_{y} (x, y)$ 为正且 $f_{x} (x, y) = 0$ ？
在哪个点 $f_{x} (x, y)$ 和 $f_{y} (x, y)$ 都为正？
在哪个点 $f_{x} (x, y)$ 和 $f_{y} (x, y)$ 都为负？

问题 28.4 (10 分)：

(5 分) 求超曲面 $f (x, y, z, w) = x y^{2} z^{2} + w = 2$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0}, w_{0}) = (2, - 1, - 1, 0)$ 处的切超平面 $a x + b y + c z + d w = e$ 。
(5 分) 通过线性近似估计 $f (2.001, - 0.9, - 1.01, 0.07)$ 。

问题 28.5 (10 分)：

(6 分) 使用二阶导数检验对函数 $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ 的临界点进行分类。
(2 分) 函数 $f (x, y)$ 有全局最小值吗？
(2 分) 函数 $f (x, y)$ 有全局最大值吗？

问题 28.6 (10 分)：

(4 分) 求函数 $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ 在 $(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)$ 处的二次近似 $Q (x, y)$ 。我们在问题 28.5 中已经见过这个函数。
(3 分) 这个函数 $f$ 是莫尔斯函数吗？
(3 分) 使用二次近似估计 $f (1.03, 0.2)$ 的值。

问题 28.7 (10 分)：

使用拉格朗日优化方法，求在约束 $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 2$ 下，使得 $f (x, y) = 3 - 3 x + x^{2} - 3 y + x y + y^{2}$ 取最大值或最小值的参数 $(x, y)$ 。

问题 28.8 (10 分)：

(5 分) 计算环形区域 $G = {1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ 上的积分 $I = \iint_{G} e^{x^{2} + y^{2}} d y d x$ 。
(5 分) 计算二重积分 $\int_{1}^{3} \int_{0}^{9 - x^{2}} \frac{y^{2}}{\sqrt{9 - y} - 1} d y d x .$

问题 28.9 (10 分)：

计算

$∭_{E} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} d z d y d x$ 其中 $E = {(x, y, z) ∣ 4 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, x^{2} + y^{2} < z^{2}} .$

问题 28.10 (10 分)：

计算曲面 $r (u, v) = [\begin{matrix} 2 v \cos (u) \\ 2 v \sin (u) \\ u^{2} \end{matrix}]$ 在区域 $R = {u^{2} + v^{2} \leq 9}$ 上的表面积。

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