格林定理

31.1 引言

31.1.1 电磁学基础

你可能看过电影《心灵捕手》或《知无涯者》。前一部电影灵感来源于拉马努金，即后一部电影的主角。与纯属虚构的《心灵捕手》不同，拉马努金的故事是真实的。他是一位自学成才的数学家，做出了惊人的发现。还有一个更古老的故事，也是真实的。乔治·格林（1893-1841）是一位英国数学家，他首次描述了电磁学的数学框架，为克拉克·麦克斯韦和开尔文勋爵铺平了道路。

31.1.2 格林二维定理

我们将要讨论的定理是关于平面中向量场 $F = [P, Q]$ 的定理。它的导数 $d F$ 称为 $F$ 的旋度，即标量场 $Q_{x} - P_{y}$ 。该定理表明 $\iint_{G} d F d A = \int_{δ G} F \cdot d r$ 这完全类似于，因为后者是 $f$ 沿 $I = [a, b]$ 的边界 $δ G$ 的积分。

31.1.3 格林统一定理

格林定理最初由柯西描述。由于格林先发现了高斯定理，该定理的命名有些奇怪。尽管如此，格林率先看到了积分定理的一般结构：在流形上对场的导数积分等于在边界上对场积分。简而言之， $\int_{G} d F = \int_{δ G} F$ 。在考虑二维对象时，场 $F = [P, Q]^{T}$ 的导数为 $Q_{x} - P_{y}$ 。平面区域的边界是包围该区域的曲线。重要的是，曲线的方向必须与区域的方向相匹配。我们沿着曲线行进，使得区域始终在我们的左侧。

31.1.4 向量场与微分形式的记号

关于记号的一点说明：我们通常也会将 $F$ 写为行向量场 $F = [P, Q]$ 。这也被称为微分 $1$ -形式。从技术上讲，将矩阵乘积 $F d r$ 写为点积 $F^{T} \cdot d r$ 也是正确的。另外，请记住 $d f$ 是行向量场，而 $\nabla f = d f^{T}$ 是列向量场。关于记号，我们还应注意，习惯上将连续函数、场或曲线称为 $C^{0}$ ，将连续可微的函数、场或曲线称为 $C^{1}$ 。在微积分中，我们通常假设所有对象至少是分段 $C^{1}$ 的。区域可以是正方形，但不能是由科赫雪花围成的区域。

31.2 讲座

31.2.1 格林定理：旋度与线积分

对于区域 $G \subset ℝ^{2}$ 中的 $C^{1}$ 向量场 $F = [P, Q]$ ，旋度定义为 $curl (F) = Q_{x} - P_{y}$ 。假设 $G$ 的边界 $C$ 的方向使得区域 $G$ 位于左侧（这意味着如果 $r (t) = [x (t), y (t)]$ 是参数化，则转向速度在 $r (t)$ 附近穿过 $G$ ）。格林定理保证，如果 $C$ 由有限条光滑曲线组成，则

定理 1. $\iint_{G} curl (F) d x d y = \int_{C} F (r (t)) \cdot d r (t)$ 。

证明。 只需分别对 $F = [0, Q]$ 或 $F = [P, 0]$ 以及同时为“从下到上” $G = B = {a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ 和“从左到右” $G = L = {c \leq y \leq d, a (y) \leq x \leq b (y)}$ 的区域 $G$ 证明该定理。对于 $F = [P, 0]$ ，使用从下到上的积分，其中沿 $r (t) = [b, t]$ 和 $r (t) = [a, t]$ 的两个垂直积分为零。沿 $r (t) = [t, c (t)]$ 和 $r (t) = [t, d (t)]$ 的积分给出对于 $F = [Q, 0]$ ，使用从左到右的积分，其中底部和顶部的积分为零，并且合起来，将 $F$ 写为 $F = [0, Q] + [P, 0]$ ，对 $[P, 0]$ 使用第一个计算，对 $[0, Q]$ 使用第二个计算。一般情况下，沿小网格切割 $G$ ，使得每个部分都属于这两种类型。当添加线积分时，只有边界保留。 ◻

**图 2.** 为了证明格林定理，将区域切割成“从下到上”和“从左到右”的区域。内部切割相互抵消。

31.2.2 网格法

为了看到我们可以将 $G$ 切割成两种类型的区域，首先将坐标系稍微旋转一点，使得边界上不出现水平或垂直线段。这是可能的，因为我们假设边界由有限个光滑片段组成。现在也使用稍微旋转的网格将区域分割成更小的部分。现在我们得到每个部分都具有形式 $G = {(x, y) ∣ c (x) \leq y \leq d (x)} = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y)},$ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是分段光滑函数。

31.2.3 二维保守场

格林定理保证：

定理 2. 如果 $F$ 在 $ℝ^{2}$ 中无旋，则 $F$ 是一个梯度场。

31.2.4 路径与旋度：二维等价性

如果 $F$ 在 $ℝ^{2}$ 中可微，则以下四个性质是等价的：

$F$ 是一个梯度场，
$F$ 具有闭合回路性质，
$F$ 具有路径无关性质，以及
$F$ 是无旋的。

我们在证明研讨会上看到，涡旋向量场 $F = [- y, x] / (x^{2} + y^{2})$ 是更一般定理的一个反例，如果该场在某点不可微的话。

31.3 应用

31.3.1 格林定理用于面积计算

格林定理允许计算面积。如果 $curl (F) = 1$ 且 $C$ 是包围区域 $G$ 的曲线，则例如，取 $F = [- y, x] / 2$ 和 $r (t) = [a \cos (t), b \sin (t)]$ ，则是椭圆 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ 的面积。

31.3.2 利用格林定理求r(t)所围面积

由 $r (t) = [\cos (t), \sin (t) + \cos (22 t) / 22]$ 所围区域的面积是多少？取 $F (x, y) = [0, x]$ 。线积分为 $\int_{0}^{2 π} [0, \cos (t)] \cdot [- \sin (t), \cos (t) - \sin (22 t)] d t = π .$

31.3.3 求积仪：格林定理的实际应用

求积仪是一种模拟计算机，用于计算区域的面积。它的工作原理基于格林定理。向量 $F (x, y)$ 是垂直于第二支臂 $(a, b) \to (x, y)$ 的单位向量，如果 $(0, 0) \to (a, b)$ 是第一支臂。给定 $(x, y)$ ，我们通过两个圆的交点找到 $(a, b)$ 。神奇之处在于 $F$ 的旋度是常数 $1$ 。以下计算机辅助计算证明了这一点：

**图 4.** 求积仪是一种模拟计算机，可以计算曲线所围区域的面积。我们将在课堂上看到机械求积仪。

31.4 示例

示例 1. 问题： 计算 $F (x, y) = [x^{2} - 4 y^{3} / 3, 8 x y^{2} + y^{5}]$ 沿矩形 $[0, 1] \times [0, 2]$ 逆时针方向的边界。
解：由于 $curl (F) = Q_{x} - P_{y} = 8 y^{2} + 4 y^{2} = 12 y^{2}$ 我们有 $\int_{C} F \cdot d r = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 12 y^{2} d y d x = 32.$

示例 2. 问题： 求向量场 $F (x, y) = [\begin{matrix} x + y \\ 3 x + 3 y^{2} \end{matrix}]$ 沿二次科赫岛边界 $C$ 的线积分。逆时针方向的 $C$ 包围了包含 $289$ 个单位正方形的岛 $G$ 。
解： $curl (F) = 2$ ，因此 $\iint_{G} 2 d A = 2 Area (G) = 578.$

**图 5.** 由**林登迈耶系统**（一种递归文法）构造的科赫岛。它以 $F + F + F + F$ 开始，递归规则为 $F \to F - F + F + F F F - F - F + F$ 。[ $F =$ “向前移动 $1$ ”， $+ =$ “向左转 $90$ 度”， $- =$ “向右转 $(- 90)$ 度”。]

习题

习题 1. 计算线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ ，其中 $F = [- 11 y + 3 x^{2} \sin (y) + e^{7777 \sin (x^{6})}, 11 x + x^{3} \cos (y) + 2 y e^{22 \sin (y)}]^{T}$ 沿三角形 $C$ ，该三角形按顺序经过顶点 $(0, 0)$ 、 $(7, 0)$ 和 $(7, 11)$ 并返回 $(0, 0)$ 。

习题 2. 一个经典问题要求计算由内摆线 $r (t) = [4 \cos^{3} (t), 4 \sin^{3} (t)], 0 \leq t \leq 2 π .$ 所围区域的面积。我们不能直接那么容易地做到。猜猜该用哪个定理，然后用它！

练习 3. 计算 $\int_{C} [\sin (\sqrt{1 + x^{3}}), 7 x] \cdot d r,$ 其中 $C$ 是区域 $K (n)$ 的边界。你在图片中看到 $K (0)$ 、 $K (1)$ 、 $K (2)$ 、 $K (3)$ 、 $K (4)$ 。第一个 $K (0)$ 是一个边长为 $1$ 的等边三角形。第二个 $K (1)$ 是在 $K (0)$ 上添加了 $3$ 个边长为 $1 / 3$ 的等边三角形。 $K (2)$ 是在 $K (1)$ 上添加了 $3 \times 4^{1}$ 个边长为 $1 / 9$ 的等边三角形。 $K (3)$ 是在 $K (2)$ 上添加了 $3 \times 4^{2}$ 个边长为 $1 / 27$ 的等边三角形，而 $K (4)$ 是在 $K (3)$ 上添加了 $3 \times 4^{3}$ 个边长为 $1 / 81$ 的三角形。在科赫雪花极限 $K = K (\infty)$ 下，线积分是多少？曲线 $K$ 是一个维度为 $\log (4) / \log (3) = 1.26 \dots$ 的分形。

练习 4. 给定标量函数 $f (x, y) = x^{5} + x y^{4}$ ，计算 $F (x, y) = [5 y - 3 y^{2}, - 6 x y + y^{4}] + \nabla (f)$ 沿图片中给出的怪物区域边界的线积分。有四个边界曲线，方向如图中所示：一个面积为 $16$ 的大椭圆，两个面积分别为 $1$ 和 $2$ 的圆，以及一个小椭圆（嘴巴），面积为 $3$ 。来自《怪物公司》的“大眼仔”提醒你注意方向！

练习 5. 设 $C$ 是半径为 $6$ 的圆盘中阴阳符号白色阳部分的边界曲线。从图像中可以看到，曲线 $C$ 有三个部分，并且每个部分的方向已给出。求向量场 $F (x, y) = [- y + \sin (e^{x}), x]^{T}$ 沿 $C$ 的线积分。有三个独立的线积分。

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