期末考试

39.1 期末考试关键词（另见第14+28单元）

39.1.1 离散微积分

$G = (V, E)$ 图，顶点集 $V$ ，边集 $E$
$0$ -形式： $V$ 上的函数。离散标量函数
$1$ -形式：有向 $E$ 上的函数。离散向量场
$2$ -形式：有向三角形 $T$ 上的函数
$d (f) = grad (f)$ 是边 $a \to b$ 上的函数，定义为 $f (b) - f (a)$
$H = d F = curl (F)$ 是三角形上的函数，通过沿三角形求和 $F$ 得到
对于 $1$ -形式 $F$ ， $d^{*} F$ 是顶点上的函数。累加相连的边值
对于 $2$ -形式 $H$ ， $d^{*} H$ 是边上的函数。累加相连的三角形值

39.1.2 新人物

提及：Cartan, Maxwell, Stokes, Green, Gauss, Newton, Einstein, Kirchhoff, Menger, Koch, Escher, Peirce

39.1.3 偏导数

$L (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$ 线性近似
$Q (x, y) = L (x_{0}, y_{0}) + f_{x x} (x - x_{0})^{2} / 2 + f_{y y} (y - y_{0})^{2} / 2 + f_{x y} (x - x_{0}) (y - y_{0})$
使用 $L (x, y)$ 估计 $f (x, y)$ 在 $f (x_{0}, y_{0})$ 附近的值。结果为 $f (x_{0}, y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})$
切平面： $a x + b y + c z = d$ ，其中 $a = f_{x}$ ， $b = f_{y}$ ， $c = f_{z}$ ， $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$
用 $L (x, y)$ 或 $Q (x, y)$ 估计 $(x_{0}, y_{0})$ 附近的 $f (x, y)$
$f_{x y} = f_{y x}$ 克莱罗定理，适用于 $C^{2}$ 类函数
$r_{u} (u, v)$ ， $r_{v} (u, v)$ 与由 $r (u, v)$ 参数化的曲面相切

39.1.4 参数化

$r : G \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ ， $d r$ 雅可比矩阵
$g = d r^{T} d r$ 第一基本形式， $| d r | = \sqrt{g}$ 畸变因子
$curl (F) (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) = F_{u} \cdot r_{v} - F_{v} \cdot r_{u}$ 重要公式

39.1.5 偏微分方程

$f_{x y} = f_{y x}$ ，克莱罗
$f_{t} = f_{x x}$ ，热方程
$f_{t t} - f_{x x} = 0$ ，波动方程
$f_{x} - f_{t} = 0$ ，输运方程
$f_{x x} + f_{y y} = 0$ ，拉普拉斯方程
$f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ ，伯格斯方程
$d F^{*} = j$ ， $d F = 0$ ，麦克斯韦方程组
$div (F) = 4 π σ$ ，引力方程

39.1.6 梯度

$\nabla f (x, y) = [f_{x}, f_{y}]^{T}$ ， $\nabla f (x, y, z) = [f_{x}, f_{y}, f_{z}]^{T}$ ，梯度
$D_{v} f = \nabla f \cdot v$ 方向导数
链式法则
$\nabla f (x_{0}, y_{0})$ 正交于包含 $(x_{0}, y_{0})$ 的等高线 $f (x, y) = c$
$\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 正交于包含 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的等值面 $f (x, y, z) = c$
$\frac{d}{d t} f (x + t v) = D_{v} f$ 由链式法则
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$ 切线
$(x - x_{0}) f_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (y - y_{0}) f_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + (z - z_{0}) f_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$ 切平面
$D_{v} f (x_{0}, y_{0})$ 在 $v = \nabla f (x_{0}, y_{0}) / | \nabla f (x_{0}, y_{0}) |$ 方向上最大
$f (x, y)$ 在非临界点处沿 $\nabla f / | \nabla f |$ 方向增加
如果对所有 $v$ 有 $D_{v} f (x) = 0$ ，则 $\nabla f (x) = 0$
$f (x, y, z) = c$ 定义 $y = g (x, y)$ ，且 $g_{x} (x, y) = - f_{x} (x, y, z) / f_{z} (x, y, z)$ 隐函数求导

39.1.7 极值

$\nabla f (x, y) = [0, 0]^{T}$ ，临界点
$D = \det (d^{2} f) = f_{x x} f_{y y} - f_{x y}^{2}$ 判别式
莫尔斯：临界点且 $D \neq 0$ ，在二维中形如 $x^{2} + y^{2}$ ， $x^{2} - y^{2}$ ， $- x^{2} - y^{2}$
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的邻域内，局部极大值
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的邻域内，局部极小值
$\nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y)$ ， $g (x, y) = c$ ， $λ$ 拉格朗日方程
$\nabla f (x, y, z) = λ \nabla g (x, y, z)$ ， $g (x, y, z) = c$ ， $λ$ 拉格朗日方程
二阶导数检验： $\nabla f = (0, 0)$ ， $D > 0$ ， $f_{x x} < 0$ 局部极大值 ， $\nabla f = (0, 0)$ ， $D > 0$ ， $f_{x x} > 0$ 局部极小值， $\nabla f = (0, 0)$ ， $D < 0$ 鞍点
$f (x_{0}, y_{0}) \geq f (x, y)$ 处处成立，全局极大值
$f (x_{0}, y_{0}) \leq f (x, y)$ 处处成立，全局极小值

39.1.8 二重积分

$\iint_{R} f (x, y) d y d x$ 二重积分
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x$ 矩形上的积分
$\int_{a}^{b} \int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y d x$ 下至上型区域
$\int_{c}^{d} \int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x d y$ 左至右型区域
$\iint_{R} f (r, θ) r d r d θ$ 极坐标
$\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 表面积
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$ 富比尼定理
$\iint_{R} 1 d x d y$ 区域 $R$ 的面积
$\iint_{R} f (x, y) d x d y$ 由 $f$ 图形和 $x y$ -平面所围立体的有向体积

39.1.9 三重积分

$∭_{R} f (x, y, z) d z d y d x$ 三重积分
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x$ 长方体上的积分
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \int_{h_{1} (x, y)}^{h_{2} (x, y)} f (x, y) d z d y d x$ I型区域
$∭_{R} f (r, θ, z) r d z d r d θ$ 柱坐标下的积分
$∭_{R} f (ρ, θ, ϕ) ρ^{2} \sin (ϕ) d ρ d ϕ d θ$ 球坐标下的积分
$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{u}^{v} f (x, y, z) d z d y d x = \int_{u}^{v} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z$ 富比尼定理
$V = ∭_{E} 1 d z d y d x$ 立体 $E$ 的体积
$M = ∭_{E} σ (x, y, z) d z d y d x$ 密度为 $σ$ 的立体 $E$ 的质量

39.1.10 线积分

$F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]^{T}$ 平面中的向量场
$F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)]^{T}$ 空间中的向量场
线积分
$F (x, y) = \nabla f (x, y)$ 梯度场 $=$ 势场 $=$ 保守场

39.1.11 线积分基本定理

FTLI： $F (x, y) = \nabla f (x, y)$ ，
闭路性质 $\int_{C} F d r = 0$ ，对所有闭合曲线 $C$
总是等价：闭路性质、路径无关性和梯度场
混合偏导检验 $curl (F) \neq 0$ 确保 $F$ 不是梯度场
在单连通区域中： $curl (F) = 0$ 意味着场 $F$ 是保守的
保守场：不能用于永动机。

39.1.12 格林定理

$F (x, y) = [P, Q]^{T}$ ，二维旋度： $curl (F) = Q_{x} - P_{y}$
格林定理： $C$ 是 $R$ 的边界，则 $\int_{C} F \cdot d r = \iint_{R} curl (F) d x d y$
面积计算：取 $F$ 使得 $curl (F) = Q_{x} - P_{y} = 1$ ，例如 $F = [- y, 0]^{T}$ 或 $F = [0, x]^{T}$
格林定理可用于计算困难的线积分或困难的二维积分

39.1.13 通量积分

$F (x, y, z)$ 向量场， $S = r (R)$ 参数化曲面
$r_{u} \times r_{v} d u d v = d S$ 是曲面上的 $2$ -形式
$\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{S} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$ 通量积分

39.1.14 斯托克斯定理

$F (x, y, z) = [P, Q, R]^{T}$ , $curl ([P, Q, R]^{T}) = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}]^{T} = \nabla \times F$
斯托克斯定理： $C$ 是曲面 $S$ 的边界，则 $\int_{C} F \cdot d r = \iint_{S} curl (F) \cdot d S$
斯托克斯定理可用于计算复杂的通量积分或复杂的线积分

39.1.15 梯度旋度散度

$\nabla = [\partial_{x}, \partial_{y}, \partial_{z}]^{T}$ , $F = \nabla f$ , $curl (F) = \nabla \times F$ , $div (F) = \nabla \cdot F$
$div (curl (F)) = 0$ 且 $curl (grad (f)) = 0$
$div (grad (f)) = Δ f$ 拉普拉斯算子
不可压缩 $=$ 无散场：处处满足 $div (F) = 0$ 。这意味着 $F = curl (H)$
无旋 $=$ 处处满足 $curl (F) = 0$ 。这意味着 $F = grad (f)$

39.1.16 散度定理

$div ([P, Q, R]^{T}) = P_{x} + Q_{y} + R_{z} = \nabla \cdot F$
散度定理：对于立体 $E$ ，边界为 $S$ ，则 $\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{E} div (F) d V$
散度定理可用于计算复杂的通量积分或复杂的三重积分

39.1.17 一些拓扑学

单连通区域 $D$ ：可以在 $D$ 内将任意闭合曲线连续变形为一点
区域 $D$ 的内部： $D$ 中的点，其某个小邻域仍完全包含在 $D$ 内
曲线 $C$ 的边界：曲线的端点
$S$ 的边界：曲面上不在参数域内部的点
立体 $G$ 的边界： $G$ 中不属于 $D$ 内部的点
闭合曲面：没有边界的曲面，例如球面
闭合曲线：没有边界的曲线，例如纽结

39.1.18 一些曲面参数化

半径为 $ρ$ 的球面： $r (u, v) = [ρ \cos (u) \sin (v), ρ \sin (u) \sin (v), ρ \cos (v)]^{T}$
函数 $f (x, y)$ 的图像： $r (u, v) = [u, v, f (u, v)]^{T}$
示例：抛物面 $r (u, v) = [u, v, u^{2} + v^{2}]^{T}$
包含点 $P$ 和向量 $u$ 、 $v$ 的平面： $r (s, t) = P + s u + t v$
旋转曲面：距离 $z$ 轴的距离为 $g (z)$ ： $r (u, v) = [g (v) \cos (u), g (v) \sin (u), v]^{T}$
示例：圆柱面 $r (u, v) = [\cos (u), \sin (u), v]^{T}$
示例：圆锥面 $r (u, v) = [v \cos (u), v \sin (u), v]^{T}$
示例：抛物面 $r (u, v) = [\sqrt{v} \cos (u), \sqrt{v} \sin (u), v]^{T}$

39.1.19 积分定理中的积分

二重和三重积分： $\iint_{G} f (x, y) d A$ , $∭_{G} f (x, y, z) d V$
线积分：
通量积分： $\iint_{S} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$

39.1.20 微分形式

一个张量类型 $(p, q)$ 是一个多重线性映射 $(E^{*})^{p} \times E^{q} \to ℝ$ 。
一个 $𝒌$ -形式 是一个场，它在每一点附加一个 $k$ 个变量的多重线性反对称映射。
$F = 5 x^{3} d y d z + 7 \sin (y) x d x d z + 3 \cos (x y) d x d y$ 是一个 $2$ -形式的例子。在微积分中，这被等同于一个向量场 $F = [5 x^{3}, 7 \sin (y) x, 3 \cos (x y)]$ 。
像 $F = P d x d y$ 这样的项的外微分是
广义斯托克斯定理 指出 $\int_{G} d F = \int_{d G} F$ ，其中 $d G$ 是 $G$ 的边界。

39.2 期末考试（练习 A）

问题 39A.1（10 分）：

在图 (39.1) 的图 $G$ 上，我们给定了一个定义在图 $G = (V, E)$ 上的 $1$ -形式 $F$ 。

（3 分）写出旋度 $d F$ 的值。作为一个 $2$ -形式，它是三角形集合 $T$ 上的一个函数。
（3 分）计算“离散散度” $d^{*} F$ ，它是一个 $0$ -形式，即顶点上的一个函数。
（4 分）求拉普拉斯算子 $d^{*} d F + d d^{*} F$ 的值，并将值填入图 (39.2) 中边的附近。

**图 1.** 一个带有 $1$ -形式 $F$ 的图。在此处填写 a) 和 b) 的结果。

问题 39A.2（10 分，每题 1 分）：

谁将万有引力定律表述为偏微分方程 $div (F) = 4 π σ$ 的形式？
表达式 $5 x d x d z d x + 77 d y d z d y + 3 d x d y + 6 d y d x$ 简化为 $\dots \dots$
如果 $S$ 是单位球面且方向向外， $\iint_{S} [x, y, z] \cdot d S$ 的值是多少？
点 $(0, 0, 3)$ 到 $x y$ -平面的距离是多少？
如果处处有，那么是否垂直于速度？
对于坐标变换 $r (u, v) = [- 2 v, 3 u]$ ，畸变因子 $| d r |$ 是多少？
如果 $r (u, v)$ 参数化 $ℝ^{3}$ 中的一个曲面，那么 $r_{u} \times (r_{u} \times r_{v})$ 是否与曲面相切？
是或否：如果 $(0, 0, 0)$ 是 $f (x, y, z)$ 的最大值点，则 $f_{x x} (0, 0, 0) < 0$ 。
写出 $1 + x + y + \sin (x^{2} - y^{2})$ 的二次逼近？
如果 $S : f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 方向向外，那么 $\nabla f$ 穿过 $S$ 的通量是负的、零还是正的？是这三种情况中的哪一种？

问题 39A.3（10 分，每题 1 分）：

图 (39.3) 中的哪个三角形是在 $\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} f (x, y) d x d y$ 上积分的？
我们看到了一个克莱罗定理的反例。这个函数 $f (x, y)$ 属于 $C^{k}$ 但不属于 $C^{k + 1}$ 。整数 $k$ 表示我们可以连续微分 $f$ 多少次。这个 $k$ 是多少？
$div (E) =$ $4 π j + E_{t}$ 属于哪一组偏微分方程？
写出柯西-施瓦茨不等式。
设 $G$ 为门格尔海绵的第一阶段（由 $27$ 个立方体中的 $20$ 个组成）。它是单连通的吗？
对微分形式 $F = \sin (x z) d x d y$ 取外微分。
参数化曲面 $x = z^{2} - y^{3}$ 。
参数化椭球面 $x^{2} / 4 + y^{2} + z^{2} / 9 = 1$ 与平面 $y = 0$ 相交所得的曲线。
在球坐标中，方程 $\sin (ϕ) \cos (θ) = \cos (ϕ)$ 表示什么曲面？
写出顶点为 $(0, 0, 0)$ 、 $(a, b, c)$ 、 $(u, v, w)$ 的三角形面积的一般公式。

问题 39A.4（10 分）：

（6 分）求包含直线 $r (t) = [1 + t, 2 + t, 3 - t]$ 且垂直于平面 $Σ : x + 2 y - z = 4$ 的平面方程。
（4 分） $Σ$ 的法向量与你刚求出的平面的法向量之间的夹角是多少？

问题 39A.5（10 分）：

（8 分）求函数 $f (x, y) = \cos (x) + y^{5} - 5 y$ 的临界点，并使用二阶导数检验对其进行分类。你可以假设 $0 \leq x < 2 π$ 。
（2 分）函数 $f$ 是否有全局最大值或全局最小值？

问题 39A.6（10 分）：

（5 分）使用拉格朗日乘数法求 $f (x, y) =$ $y^{2} - x$ 在约束 $g (x, y) = x + x^{3} - y^{2} = 2$ 下的最大值。
（5 分）拉格朗日方程未能找到 $f (x, y) =$ $y^{2} - x$ 在约束 $g (x, y) = x^{3} - y^{2} = 0$ 下的最大值。然而，拉格朗日定理仍然允许你找到最大值。如何找到？

问题 39A.7（10 分）：

（6 分）求曲面 $x^{2} - 2 y^{2} + z^{3} + w^{2} = 2$ 在点 $P = (4, 2, 1, 1)$ 处的切平面。
（4 分）参数化经过点 $P$ 且垂直于该点处超曲面的直线 $r (t)$ 。然后求 $(r (1) + r (- 1)) / 2$ 。

问题 39A.8（10 分）：

使用线性近似估计 $f (0.012, 0.023)$ ，其中 $f (x, y) = \log (1 + x + 3 x y)$ 。
使用二次近似估计 $f (0.012, 0.023)$ ，其中 $f (x, y) = \log (1 + x + 3 x y)$ 。

问题 39A.9（10 分）：

考虑一条曲线，其加速度满足初始位置为 $[2, 0, 2, 0]$ ，初始速度为 $[0, 2, 0, 2]$ 。求 $r (t)$ 。
在 $t = 0$ 处， $r (t)$ 的曲率是多少？

问题 39A.10（10 分）：

在区域 $1 < x^{2} + y^{2} < 4$ ， $x y > 0$ 上对函数 $f (x, y) = x + x^{2} - y^{2}$ 进行积分。
求 $r (t, s) = [\cos (t) \sin (s), \sin (t) \sin (s), \cos (s)]$ 的表面积，其中 $0 \leq t \leq 2 π$ 且 $0 \leq s \leq t / 2$ 。

问题 39A.11（10 分）：

设 $E$ 为立体 $x^{2} + y^{2} \geq z^{2}, x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, y \geq | x | .$

（7 分）计算三重积分 $∭_{E} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z .$
（3 分）设 $F$ 为向量场 $F = [x^{3}, y^{3}, z^{3}]$ 求 $F$ 穿过 $E$ 的边界曲面（方向向外）的通量。

问题 39A.12（10 分）：

力场 $F (x, y, z, w) = [1, 5 y^{4} + z, 6 z^{5} + y, 7 w^{6}]^{T} + [y - w, 0, 0, 0]^{T}$ 沿路径 $r (t) = [t^{3}, \sin (6 t), \cos (8 t), \sin (6 t)]$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2 π$ 的线积分是多少？
提示：我们特意将该场写成了两个向量场的和。

问题 39A.13（10 分）：

求区域 $| x |^{2 / 5} + | y |^{2 / 5} \leq 1$ 的面积。使用积分定理。

问题 39A.14（10 分）：

向量场 $F (x, y, z, w) = [x + \cos (y), y + z^{2}, 2 z, 3 w]$ 穿过立体 $E : 1 \leq x \leq 3, 3 \leq y \leq 5, 0 \leq z \leq 1, 4 \leq w \leq 8$ 的边界（方向向外）的通量是多少？

问题 39A.15（10 分）：

求向量场 $F (x, y, z) = [- z, z + \sin (x y z), x - 3]^{T}$ 的旋度的通量，该通量穿过图 (39.5) 中所示的 扭曲曲面，方向向内，参数化为 $r (t, s) = [(3 + 2 \cos (t)) \cos (s), (3 + 2 \cos (t)) \sin (s), s + 2 \sin (t)]$ 其中 $0 \leq s \leq 7 π / 2$ 且 $0 \leq t \leq 2 π$ 。

**图5.** 曲面的边界由两个圆 $r (t, 0)$ 和 $r (t, 7 π / 2)$ 组成。图中给出了这些曲线的速度矢量方向（每种情况可能兼容也可能不兼容曲面的定向）。

39.3 期末考试（练习B）

问题39B.1（10分）：

图(39.6)中的图 $G = (V, E)$ 表示一个离散曲面，其中所有三角形均按逆时针方向定向。给出了一个 $1$ -形式 $=$ 向量场 $F$ 的值。

（2分）求 $F$ 沿逆时针定向的边界曲线的线积分。
（2分）计算旋度 $H = d F$ 并将其值填入三角形中。
（2分）所有旋度值之和是多少？为什么它与a)的结果一致？
（2分）同时求 $g = d^{*} F$ 并将其填入顶点附近。
（1分）判断正误： $\sum_{x \in V} g (x) = 0$ 。
（1分）判断正误：我们将 $L = d d^{*}$ 称为 $G$ 的拉普拉斯算子。

**图6.** 一个离散的 $2$ 维区域，其上 $1$ -形式 $F$ 模拟了一个向量场。你需要计算 $F$ 的旋度 $d F$ 和散度 $d^{*} F$ 。

问题39B.2（10分，每题1分）：

说出曼德勃罗集的三维类似物。
如果 $A$ 是一个 $5 \times 4$ 矩阵，那么 $A^{T}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵。 $m$ 和 $n$ 是多少？
写出曲线 $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$ 在 $a \leq t \leq b$ 上的弧长的一般公式。
写出曲线 $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]^{T}$ 曲率的一个可能公式。
我们见过一个涉及三个角度 $ϕ$ 、 $θ_{1}$ 、 $θ_{2}$ 的 $3$ -球面参数化。要么写出该参数化，要么回忆以之命名的数学家的名字。
对于 $Φ : R \to G$ 的一般变量变换公式为 $∭_{R} f (u, v, w) \dots \dots \dots d u d v d w = ∭_{G} f (x, y, z) d x d y d z .$ 填写公式中的空白部分。
$\log (- i)$ 的数值是多少？
我们使用富比尼定理证明了 $C^{2}$ 函数 $f (x, y)$ 满足一个偏微分方程。请写出这个重要的偏微分方程及其名称。（它在课程后期被多次使用。）
参数化 $r (u, v) = [a \cos (u) \sin (v), b \sin (u) \sin (v), c \cos (v)]^{T}$ 的积分因子 $| d r |$ 是多少？
在第一讲中，我们将 $\sqrt{tr (A^{T} A)}$ 定义为矩阵的长度。元素全为 $1$ 的 $3 \times 3$ 矩阵的长度是多少？

问题39B.3（10分，每题1分）：

假设对于莫尔斯函数 $f (x, y)$ ，在临界点 $(x_{0}, y_{0})$ 处判别式 $D$ 为正且 $f_{y y} (x_{0}, y_{0}) < 0$ 。关于 $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ 你能得出什么结论？
我们证明了恒等式 $| d r | = | r_{u} \times r_{v} |$ ，其中 $r$ 是从 $ℝ^{m}$ 到 $ℝ^{n}$ 的映射。这个恒等式是针对哪些 $m$ 和 $n$ 定义的？
在 $4$ 维空间中使用球坐标时，以下哪个是正确的积分因子？

$| d Φ | = r$
$| d Φ | = 3 + \cos (ϕ)$
$| d Φ | = ρ^{2} \sin (ϕ)$
$| d Φ | = ρ^{3} \sin (2 ϕ) / 2$

以下哪些向量场是梯度场？（可能没有、一个、两个、三个或全部。）

$F = [x, 0]^{T}$
$F = [0, x]^{T}$
$F = [x, y]^{T}$
$F = [y, x]^{T}$

以下四个曲面中哪一个是单叶双曲面？（可能没有、一个、两个、三个或全部。）

$x^{2} + y^{2} = z^{2} - 1$
$x^{2} - y^{2} = 1 - z^{2}$
$x^{2} + y^{2} = 1 - z^{2}$
$x^{2} - y^{2} = z^{2} + 1$

将曲面 $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ 参数化为 $r (θ, z) = [\dots \dots \dots, \dots \dots \dots, \dots \dots \dots]^{T} .$
发现暗物质并提出引力透镜机制的有创造力的人是谁？
矩阵 $A, B \in M (2, 2)$ 之间夹角的余弦值是多少，其中 $A$ 是单位矩阵， $B$ 是元素全为1的矩阵？你应该得到一个具体的数字。
我们见过恒等式 $| v |^{2} + | w |^{2} = | v - w |^{2}$ ，其中 $v$ 、 $w$ 是 $ℝ^{n}$ 中的向量。要使该恒等式成立， $v$ 和 $w$ 必须满足什么条件？
计算微分形式 $F = e^{x} \sin (y) d x d y + \cos (x y z) d y d z$ 的外微分 $d F$ 。

问题39B.4（10分）：

（4分）求包含三点 $A = (3, 2, 1), B = (3, 3, 2), C = (4, 3, 1)$ 的平面 $Σ$ 。
（3分）三角形 $A B C$ 的面积是多少？
（3分）求原点 $O = (0, 0, 0)$ 到平面 $Σ$ 的距离。

问题39B.5（10分）：

（8分）求函数 $f (x, y) = x^{5} - 5 x + y^{3} - 3 y$ 的所有临界点，并使用二阶导数检验对这些点进行分类。
（2分）这些点中是否有 $f$ 的全局最大值或全局最小值？

问题39B.6（10分）：

（8分）使用拉格朗日方法求 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 在约束 $g (x, y) = x^{4} + y^{4} = 16$ 下的所有最大值和所有最小值。
（2分）在我们对拉格朗日定理的表述中，我们也提到了 $\nabla g (x, y) = [0, 0]^{T}$ 的情况。为什么这种情况在这里不会导致临界点？

问题39B.7（10分）：

（5分）超曲面 $S = {f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w = 5}$ 在 $ℝ^{4}$ 中定义了一个三维流形。它被诗意地称为超抛物面。求 $S$ 在点 $(1, 2, 1, 1)$ 处的切平面。
（5分） $f (x, y, z, w)$ 在点 $(1, 2, 1, 1)$ 处的线性近似 $L (x, y, z, w)$ 是什么？

问题39B.8（10分）：

使用二次近似估计 $f (x, y) = 3 + x^{2} + y + \cos (x + y) + \sin (x y)$ 在 $f (0.1, - 0.02)$ 处的值。

问题39B.9（10分）：

（8分）我们在 $5$ 维空间中的 $5$ -星级酒店（名为 MOTEL $22$ ）度假并打乒乓球。球在重力作用下加速我们在 $r (0) = [4, 3, 2, 1, 2]^{T}$ 处击球，并赋予其初速度。求轨迹 $r (t)$ 。
（2分）在哪个正时间 $t > 0$ 乒乓球击中超乒乓球台 $w = 0$ ？（该空间中的点标记为 $[x, y, z, v, w]$ 。）

问题39B.10（10分）：

（5分）在区域 $G = {1 < x^{2} + y^{2} < 4, y > 0}$ 上积分函数 $f (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{22}$ 。
（5分）求曲线 $r (t) = [\cos (t), \sin (t) + \cos (2 t)]^{T}$ 在 $0 \leq t \leq 2 π$ 上所围区域的面积。

问题39B.11（10分）：

（7分）在立体区域 $G = {x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z^{2} < 1}$ 上积分 $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 。
（3分）同一立体区域 $G$ 的体积是多少？

问题39B.12（10分）：

（8分）计算向量场 $F = [y z w + x^{6}, x z w + y^{9}, x y w - z^{3}, x y z + w^{4}]^{T}$ 沿路径 $r (t) = [t + \sin (t), \cos (2 t), \sin (4 t), \cos (7 t)]^{T}$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2 π$ 的线积分。
（2分）是多少？

问题39B.13（10分）：

（8分）求向量场 $F (x, y) = [3 x - y, 7 y + \sin (y^{4})]^{T}$ 沿多边形 $A B C D E$ 的线积分，其中 $A = (0, 0), B = (2, 0), C = (2, 4), D = (2, 6), E = (0, 4) .$ 路径是闭合的。它从 $A$ 开始，然后到达 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ ，最后返回 $A$ 。
（2分）如果曲线沿相反方向追踪，线积分是多少？

问题39B.14（10分）：

（8分）向量场 $F (x, y, z) = [y + x^{3}, z + y^{3}, x + z^{3}]^{T}$ 通过球面 $S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9}$ （向外定向）的通量是多少？
（2分）同一向量场 $F$ 通过同一球面 $S$ 但 $S$ 向内定向时的通量是多少？

问题39B.15（10分）：

（7分）向量场 $F (x, y, z) = [- y, x + z (x^{2} + y^{5}), z]^{T}$ 的旋度通过曲面 $S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} + z (x^{4} + y^{4} + 2 \sin (x - y^{2} z)) = 1, z > 0}$ （向上定向）的通量是多少？
（3分）a)中的曲面不是封闭的，它不包括底部部分 $D = {z = 0, x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 现在假设我们封闭底部，并将底部圆盘 $D$ 向下定向。通过取 $S$ 和 $D$ 的并集得到的这个封闭曲面，同一向量场 $F$ 的旋度通过它的通量是多少？

39.4 期末考试

欢迎参加期末考试。请先不要开始。我们将在上午9:00一起开始，届时会提醒一些注意事项。你现在可以填写出勤单。同时，你也可以将你的名字填入上方较大的方框中。

你只需要这本小册子和书写工具。请收起任何其他材料和电子设备。记住荣誉准则。
请书写工整并给出细节。除了问题2和3，我们希望看到细节，即使答案对你来说显而易见。
尽量在同一页上回答问题。每页背面有额外空间。如果必须，请使用末尾的额外草稿纸。但请将最终结果放在问题附近并用方框框出。
如果你在其他地方完成了问题，请在问题页上注明我们可以在哪里找到它。
你有180分钟时间完成本次期末考试。

问题39.1（10分）：

在图(39.8)中，你看到一个离散的二维区域 $G$ ，其中所有三角形均按逆时针方向定向。作为定向边上函数的 $1$ -形式 $F$ 在图中给出。回答以下问题并给出理由：

（2分） $F$ 的旋度 $d F$ 是定向三角形上的函数。关于图(39.8)的图 $G$ 中所有旋度值 $d F$ 之和，你能得出什么结论？
（2分） $F$ 是否是某个顶点上函数 $f$ 的梯度场 $F = d f$ ？
（2分）顶点上的自然散度值 $d^{*} F$ 之和是多少？
（2分）作用于 $0$ -形式的矩阵 $K = d^{*} d$ 的名称是什么？它是在 $150$ 多年前定义的。
（2分）在图(39.7)中，你看到了一个二维离散球面 $S$ ，它扮演了 $ℝ^{3}$ 中封闭曲面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的角色。给定一个 $1$ -形式 $F$ （ $S$ 上定向边的函数）， $S$ 上所有旋度之和是多少？答案是一个数字，但你必须证明该答案。

问题39.2（10分，每题1分）：

阿尔伯特·爱因斯坦使用符号 $v_{k} w^{k}$ 表示两个向量 $v$ 、 $w$ 。今天它被称为“爱因斯坦记号”。当爱因斯坦写 $v_{k} w^{k}$ 时，他指的是什么？
如果 $S = r (R)$ 是一个由 $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]^{T}$ 参数化的二维曲面， $| r_{u} \times r_{v} |$ 与 $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ 之间的关系是什么？

牛顿法用于什么？我们在一个证明研讨会上见过这个数值工具。

半径为

20

的圆的曲率是多少？

定义

1 \times 5

矩阵

A = [1, 1, 1, 1, 1]

。矩阵

A

和

B = A^{T}

中有一个是行简化阶梯形。哪一个？

坐标变换

Φ (x, y) = (3 x + y, x + y)

的畸变因子是多少？

如果

i = \sqrt{- 1}

是虚数单位，

i^{22}

的数值是多少？

微分方程

i ℏ \frac{d}{d t} ψ = K ψ

的名称是什么，其中

K

是一个矩阵？它出现在一个也称为“矩阵力学”的理论中。

为什么两条直线

r_{1} (t) = Q + t v

和

r_{2} (t) = P + t w

之间的距离由公式

| (v \times w) \cdot P Q | / | v \times w | ?

给出？

给定一个在

2

维环面上的莫尔斯函数

f

，你数出

f

有

11

个极大值点和

11

个极小值点。有多少个鞍点？

问题 39.3（10 分，每题 1 分）：

在本问题中，我们在超空间 $ℝ^{4}$ 中工作，其中点的坐标为 $(x, y, z, w)$ 。

写出 $2$ 形式 $F = x^{2} y^{2} z^{2} w^{2} d y d z .$ 的外微分 $d F$ 。
写出 $3$ 形式 $F = x^{2} y^{2} z^{2} w^{2} d x d z d w$ 的外微分。
设 $G$ 是嵌入在 $ℝ^{4}$ 中的二维环面 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， $z^{2} + w^{2} = 1$ 。关于 $\iint_{G} F d S$ ，其中 $F$ 是a)中的 $2$ 形式，广义斯托克斯定理告诉我们什么？
如果 $F$ 是a)中给出的 $2$ 形式， $d^{2} F = d d F$ 是什么？
如果 $F$ 是b)中给出的 $3$ 形式， $d^{2} F = d d F$ 是什么？
$ℝ^{4}$ 上的一个 $(1, 1)$ 型张量可以解释为一个 $4 \times 4$ 的 $\dots \dots \dots$ 。
$ℝ^{4}$ 上的一个 $(0, 1)$ 型张量也可以解释为一个 $\dots \dots \dots$ 。
如果 $f$ 是一个函数， $grad (grad (f))$ 是否有定义？
对于任意场 $F$ ， $div (div (F))$ 有意义吗？
你看到三个二元函数 $f$ 、 $g$ 和 $h$ 的等高线图。其中有一个不是莫尔斯函数。哪一个？第一个、第二个还是第三个？

问题 39.4（10 分）：

（3 分）参数化包含点 $A = (3, 2, 1), B = (3, 3, 2) .$ 的直线 $L$ 。
（3 分）给定额外的点 $P = (3, 3, 3)$ ，求 $P$ 到 $L$ 的距离。
（4 分）写出包含 $L$ 和 $P$ 的平面方程 $a x + b y + c z = d$ 。

问题 39.5（10 分）：

（6 分）求函数 $f (x, y) = x^{7} - 7 x + x y - y$ 的所有临界点，并使用二阶导数检验进行分类。
（2 分）岛屿定理告诉我们，在一个岛屿上，函数 $f$ 的极大值点数加上极小值点数减去鞍点数为 $1$ 。在当前情况下这不成立。为什么这不与岛屿定理矛盾？
（2 分）函数 $f$ 是否有全局最大值或全局最小值？

问题 39.6（10 分）：

（7 分）使用拉格朗日乘数法求函数 $f (x, y, z, w) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + w^{2}$ 在约束条件 $g (x, y, z, w) = x + y + z + w = 17.$ 下的最小值。
（3 分）你在a)中看到，在这种情况下，拉格朗日方程是关于几个未知量的线性方程组。这可以写成矩阵形式 $A X = b$ ，其中向量 $X$ 编码未知量， $b$ 是常向量。矩阵 $A$ 的大小是多少？

问题 39.7（10 分）：

（5 分）求 $ℝ^{4}$ 中超锥面 $S = {f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} - z^{2} - w^{2} = 0}$ 在点 $P = (3, 1, 3, - 1)$ 处的切平面。
（5 分）写出 $f (x, y, z, w)$ 在点 $(3, 1, 3, - 1)$ 处的线性化 $L (x, y, z, w)$ 。

问题 39.8（10 分）：

使用在点 $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ 处的二次逼近 $Q (x, y)$ 估计 $f (x, y) = e^{x + y}$ 在 $f (0.1, - 0.02)$ 处的值。

问题 39.9（10 分）：

（6 分）求满足 $和和$ 的曲线 $r (t)$ 。
（4 分）曲线在点 $r (0)$ 处的曲率是多少？

问题 39.10（10 分）：

求由曲线 $r (t) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) \\ 2 \sin (t) + \cos (7 t) \end{matrix}],$ 所围成区域的面积，其中 $0 \leq t \leq 2 π$ 。

问题 39.11（10 分）：

对 $f (x, y, z) = \frac{e^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$ 在半个牛油果区域 $E = {4 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 16, z \leq 0} .$ 上进行积分。换句话说，计算 $∭_{E} f d V$ 。

问题 39.12（10 分）：

计算向量场 $F = [\begin{array}{l} P \\ Q \\ R \end{array}] = [\begin{matrix} 3 x^{2} + y z \\ 3 y^{2} + x z \\ 3 z^{2} + x y \end{matrix}]$ 沿路径 $C$ 的线积分，其中路径 $C$ 由 $r (t) = [\begin{matrix} \cos (7 π t) e^{t (1 - t)} \\ \sin (11 π t) \\ e^{t (1 - t)} \end{matrix}]$ 参数化，从 $t = 0$ 到 $t = 1$ 。

问题 39.13（10 分）：

求向量场 $F (x, y) = [\begin{matrix} y + x^{4} \\ y^{3} + y^{4} \end{matrix}]$ 沿图中所示六边形区域边界 $C$ 的线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ 。曲线 $C$ 是一个闭合多边形，从 $(2, 0)$ 开始，逆时针经过 $(1, 2)$ 、 $(- 1, 2)$ 、 $(- 2, 0)$ 、 $(- 1, - 2)$ 、 $(1, - 2)$ ，回到 $(2, 0)$ 。

问题 39.14（10 分）：

求向量场 $F = [\begin{matrix} x^{7} \\ - x \\ \sin (z^{2}) + z^{3} x \end{matrix}]$ 的旋度通过曲面 $S$ 的通量 $\iint_{S} curl (F) \cdot d S$ ，其中曲面 $S$ 由 $r (s, t) = [\begin{matrix} (6 + 2 \cos^{2} (s / 2) \cos (t)) \cos (2 s) \\ 2 \cos^{2} (s / 2) \sin (t) + 2 s \\ (6 + 2 \cos^{2} (s / 2) \cos (t)) \sin (2 s) \end{matrix}]$ 参数化，且 $0 \leq s \leq 7 π / 2$ ， $0 \leq t < 2 π$ 。
提示：该曲面有两条边界曲线，通过观察 $s = 0$ 或 $s = 7 π / 2$ 得到。我们没有告诉你较大曲线 $r_{1} (t) = r (0, t) = [6 + 2 \cos (t), 2 \sin (t), 0]^{T}$ 的方向，但你应该知道较小曲线 $r_{2} (t) = r (7 π / 2, t) = [- 6 - \cos (t), \sin (t) + 7 π, 0]^{T}$ 的方向是正确的。

问题 39.15（10 分）：

求向量场 $F = [\begin{matrix} \sin (z) + y^{3} + x \\ \sin (x) + z^{3} + y \\ \sin (y) + x^{3} + z \end{matrix}]$ 通过图中所示立体 $E$ 的边界曲面 $S$ 的通量 $\iint_{S} F \cdot d S$ 。该立体是通过对一个边长为 $2$ 的立方体 $- 1 \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 1, - 1 \leq z \leq 1$ 进行雕刻得到的，即在每个角处切掉与该角距离小于 $1$ 的点。换句话说，我们考虑立方体中与任何 $8$ 个角的距离大于 $1$ 的点。包围立体 $E$ 的曲面 $S$ 方向向外。

目录