广义斯托克斯定理

35.1 引言

35.1.1 将多元微积分推广到四维

在维度 $1$ 中看到一个基本定理（FTC），在维度 $2$ 中看到两个定理（FTLI, GREEN），在维度 $3$ 中看到三个定理（FTLI, STOKES, GAUSS），我们预期在维度 $4$ 中有 $4$ 个定理。这确实是事实，但如何构建这样一个理论呢？在点坐标为 $(x,y,z,w)$ 的 4 维空间中，你会如何表述它？

35.1.2 解密微分形式：从函数到多重线性映射

埃利·嘉当引入了形式。在三维中，一个 $\mathbf{0}$-形式 只是一个标量函数 $$f(x,y,z).$$ 一个 $\mathbf{1}$-形式 是 $$F=Pdx+Qdy+Rdz,$$ 其中 $P$, $Q$, $R$ 是标量函数，$dx$, $dy$, $dz$ 是形式表达式。一个 $\mathbf{2}$-形式 是形如 $$F=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,$$ 的表达式，其中 $dx$, $dy$, $dz$ 同样是符号，但满足规则如 $dxdy=-dydx$, $dxdz=-dzdx$ 和 $dydz=-dzdy$。一个 $\mathbf{3}$-形式 最终写为 $$fdxdydz,$$ 其中 $dxdydz$ 作为体积形式。大多数微积分教材将 $0$-形式和 $3$-形式 $f$ 视为标量函数，将 $1$-形式和 $2$-形式视为向量场。但 $dx$ 是什么？它是一个从 ${ℝ}^3\to ℝ$ 的线性映射，将向量 $[v_1,v_2,v_3]$ 映射到 $v_1$。表达式 $dxdy$ 作为一个从 ${ℝ}^3\times {ℝ}^3$ 到 $ℝ$ 的多重线性反对称映射：对象 $dxdy$ 将两个向量 $v$, $w$ 分配给矩阵 $v$, $w$, $[0,0,1{]}^T$ 作为列向量的行列式，这等于 $$v\times w\cdot k=v_1{w}_2-v_2{w}_1.$$ 交换 $v$ 和 $w$ 会改变符号，因此 $dxdy=-dydx$，特别地 $dxdx=0$。对象 $dxdydz$ 是一个从 ${ℝ}^3\times {ℝ}^3\times {ℝ}^3$ 到 $ℝ$ 的多重线性映射，将 $3$ 个向量 $u$, $v$, $w$ 分配给以 $u$, $v$, $w$ 为列的矩阵的行列式。同样，交换两个元素会改变符号。例如 $dxdydz=-dxdzdy$，或 $dxdxdz=0$。

35.1.3 推广标量场和向量场

摆脱诸如叉积之类的概念，我们现在得到了可以在任意维度 ${ℝ}^n$ 中定义的对象。一个 $𝒌$-形式 是一个规则，它在每一点定义一个到实数的多重线性且反对称的映射。让我们看看这在 $4$ 维中是如何定义的：一个 $\mathbf{0}$-形式 是一个标量函数 $f$。它将每一点 $(x,y,z,w)$ 分配给一个数 $$f(x,y,z,w).$$ 一个 $\mathbf{1}$-形式 是一个表达式 $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ 可以看作是一个向量场 $F=[P,Q,R,S]$。一个 $\mathbf{2}$-形式 是一个表达式 $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydw+Rdzdw.$$ 它是一个具有 $6$ 个分量的场。一个 $\mathbf{3}$-形式 是一个表达式 $$F=Adydzdw+Bdxdzdw+Cdxdydw+Ddxdydz.$$ 由于它是一个具有 $4$ 个分量的场，我们可以再次将其视为一个“向量场”。一个 $\mathbf{4}$-形式 是一个表达式 $$F=fdxdydzdw.$$ 由于它只有一个分量，我们可以再次将其视为一个“标量函数”，尽管这是一个谎言。一个 $4$-形式是一个不同于 $0$-形式的对象。

35.1.4 外微分在四维中的应用

外微分 从一个 $k$-形式产生一个 $(k+1)$-形式。首先为 $0$-形式 $f$ 定义 $1$-形式 $$df=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz+f_{w}dw$$，然后将其用于一般的 $k$-形式。给定一个 $1$-形式 $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ 定义 简化为 如果 $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydw+Rdzdw$$ 是 $2$-形式，那么 简化为 最后对于 $$F=Adydzdw+Bdxdzdw+Cdxdydw+Ddxdydz$$ 我们有

35.1.5 张量与斯托克斯定理积分

我们可以将一个 $(k+1)$-形式 $dF$ 在一个 $(k+1)$-流形 $G$ 上积分，并将一个 $k$-形式 $F$ 在 $k$-流形 $dG$（即 $G$ 的边界 $dG$）上积分。我们写作 ${\int }_{G}dF$。要理解一般的斯托克斯定理，我们需要知道张量是什么。机器学习 可以证明引入这个概念是合理的。¹ 设 $E$ 为列向量空间，$E^{\ast }$ 为行向量空间。

列向量是类型 $(1,0)$ 的张量，行向量是类型 $(0,1)$ 的张量，矩阵是类型 $(1,1)$ 的张量。函数 $f$ 的第 $k$ 阶雅可比导数是类型 $(0,k)$ 的张量。例如，类型 $(0,3)$ 的张量是一个 $3$ 维数组 $A_{ijk}$。它定义了一个多重线性映射，将每个三元组向量 $u$, $v$, $w$ 分配给数 $\sum _{i,j,k}{A}_{ijk}{u}^i{v}^j{v}^k$。² 流形上的一个 $k$-形式在每一点附加一个 $(0,k)$ 张量。

35.2 讲座

35.2.1 张量作为对偶空间上的多重线性映射

$E={ℝ}^n=M(n,1)$ 是列向量的空间。它的对偶 $E^{\ast }=M(1,n)$ 是行向量的空间。为了得到更一般的对象，我们将向量视为映射。一个行向量是一个线性映射 $F:E\to ℝ$，由 $F(u)=Fu$ 定义，而一个列向量定义了一个线性映射 $F:E^{\ast }\to ℝ$，由 $F(u)=uF$ 定义。一个多变量映射 $F(x_1,\dots ,x_n)$ 被称为多重线性的，如果它在每个坐标上都是线性的。所有多重线性映射 $F:(E^{\ast }{)}^p\times E^q\to ℝ$ 的集合 $T_q^p(E)$ 是类型 $(p,q)$ 的张量的空间。我们有 $T_0^1(E)=E$ 和 $T_1^0(E)=E^{\ast }$。空间 $T_1^1(E)$ 可以自然地与 $n\times n$ 矩阵的空间 $M(n,n)$ 等同。实际上，给定一个矩阵 $A$，一个列向量 $v\in E$ 和一个行向量 $w\in E^{\ast }$，我们得到双线性映射 $F(v,w)=wAv$。它在 $v$ 和 $w$ 上都是线性的。换句话说，它是一个类型 $(1,1)$ 的张量。

35.2.2 反对称张量与k-形式

设 ${\mathrm{\Lambda }}^q(E)$ 为 $T_q^0(E)$ 的子空间，由类型 $(0,q)$ 的张量 $F$ 组成，使得 $F(x_1,\dots x_q)$ 在 $x_1,\dots ,x_q\in E$ 中是反对称的：这意味着对于所有 $i,j=1,\dots ,q$，有 $$F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (q)})=(-1{)}^{\sigma }f(x_1,\dots ,x_q)$$，其中 $(-1{)}^{\sigma }$ 是 $\{1,\dots ,n\}$ 的置换 $\sigma$ 的符号。如果二项式系数 $B(n,q)=n!/(q!(n-q)!)$ 计算 $\{1,\dots ,n\}$ 中具有 $q$ 个元素 的子集数量，并且 $E$ 的维度为 $n$，那么 ${\mathrm{\Lambda }}^q(E)$ 的维度为 $B(n,q)$。一个映射 $F:E\to T_q^p(E)$ 被称为一个 $\mathbf{(}𝒑\mathbf{,}𝒒\mathbf{)}$-张量场。集合 $T_0^1(E)$ 是向量场的空间。如果 $g:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ 是一个光滑映射，那么 $F=d^{k}g$ 是一个类型 $(0,k)$ 的张量场。一个 $𝒌$-形式 是一个 $(0,k)$-张量场 $F$，满足 $F(x)\in {\mathrm{\Lambda }}^k(E)$。例如，${ℝ}^3$ 中的一个 $2$-形式在 $x\in {ℝ}^3$ 处附加一个双线性、反对称的映射 $F(x)(u,v)=-F(x)(v,u)$。人们写作 $$Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$$ 其中 $$dydz(u,v)=u_2{v}_3-u_3{v}_2,dxdz(u,v)=u_1{v}_3-u_3{v}_1,dxdy(u,v)=u_1{v}_2-v_1{u}_2.$$

35.2.3 外微分：形式、导数与积分

外微分 $d:{\mathrm{\Lambda }}^p\to {\mathrm{\Lambda }}^{p+1}$ 对于 $f\in {\mathrm{\Lambda }}^0$ 定义为 $$df=f_{x_1}d{x}_1+\cdots +f_{x_n}d{x}_n$$ 并且 $$d(fd{x}_{i_1}\cdots d{x}_{i_p})=\sum _i{f}_{x_i}d{x}_{i}d{x}_{i_1}\cdots d{x}_{i_p}.$$ 例如，对于 $F=Pdx+Qdy$，有 $$(P_{x}dx+P_{y}dy)dx+(Q_{x}dx+Q_{y}dy)dy=(Q_x-P_y)dxdy$$ 这就是 $F$ 的旋度。如果 $r:G\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^n$ 是一个参数化，那么 $S=r(G)$ 是一个 $𝒎$-曲面，并且 $\delta S=r(\delta G)$ 是它在 ${ℝ}^n$ 中的边界。如果 $F\in {\mathrm{\Lambda }}^p({ℝ}^n)$ 是 ${ℝ}^n$ 上的一个 $𝒑$-形式，那么 $$r^{\ast }F(x)(u_1,\dots ,u_p)=F(r(x))(dr(x)(u_1),dr(x)(u_2),\dots ,dr(x)(u_p))$$ 是 ${ℝ}^m$ 中的一个 $p$-形式，称为 $r$ 的拉回。给定一个 $p$-形式 $F$ 和一个 $p$-曲面 $S=r(G)$，定义积分 ${\int }_{S}F={\int }_G{r}^{\ast }F$。广义斯托克斯定理是

35.3 示例

35.4 备注

35.4.1 微分形式：现代方法与经典方法

历史上，微分形式于1922年由埃利·嘉当提出。大多数教科书早期引入格拉斯曼代数，并使用例如“链”的语言，这是代数拓扑中使用的语言。我本人在1995年也以这种老式方式教授过这门课。³ 是让·迪厄多内在1972年将广义斯托克斯定理从链中解放出来，并首次使用了坐标无关的拉回思想。这使得我们能够在本次讲座中在一页纸上从头开始阐述广义斯托克斯定理，并包含所有定义。

35.4.2 微分形式的直观方法

什么是微分形式？ 我们已经看到了一个数学上精确的定义：微分形式是一种场：它定义了一个附着在空间每个点上的多重线性反对称函数。但是，直观上是什么，以及有哪些方法可以“可视化”、“看到”和“理解”这样的对象？这里有四条路径。也许其中一条能有所帮助：

1. 利用斯托克斯定理，可以将形式视为一个泛函 $F$，它给一个 $m$ 维定向曲面 $S$ 分配一个数 ${\int }_{S}F\cdot dS$，使得⁴ $${\int }_{-S}F\cdot dS={\int }_S(-F)\cdot dS=-{\int }_{S}F\cdot dS.$$ 这种思考形式的方式与我们在离散情况下的做法相匹配。如果我们在一个图上有一个 $k$-形式，那么这就是一个在 $k$ 维定向完全子图上的函数。给定一个图 $S$，我们有 ${\int }_{S}F\cdot dS=\sum _{x\in S}F(x)$，其中求和遍及 $S$ 中的所有 $k$ 维单纯形。
2. 可以使用算术，即格拉斯曼代数，更好地理解微分形式。这是借助张量积完成的，它诱导了 ${\mathrm{\Lambda }}^p\times {\mathrm{\Lambda }}^q\to {\mathrm{\Lambda }}^{p+q}$ 上的一个外积 $F\wedge G$。这个积推广了叉积 ${\mathrm{\Lambda }}^1\times {\mathrm{\Lambda }}^1\to {\mathrm{\Lambda }}^2$，后者适用于 $n=3$，因为在那里，$1$-形式空间 ${\mathrm{\Lambda }}^1$ 和 $2$-形式空间 ${\mathrm{\Lambda }}^2$ 可以等同。外代数结构有助于理解 $k$-形式。例如，我们可以将一个 $2$-形式视为两个 $1$-形式的外积 $F\wedge G$。例如，我们可以将 $2$-形式视为在一点处附着两个向量，并且如果它们的定向和平行四边形面积匹配，则识别这样的两个框架。
3. 第三种方式来自物理学。我们熟悉电磁学的表现形式：我们看到光，我们使用磁铁将纸张固定在冰箱上，或者利用磁力保持笔记本电脑盖关闭。梳头时会感受到电场，因为我们看到通过从头皮剥离电子获得的高电场产生的火花。我们使用磁场在硬盘上存储信息，使用电场在固态硬盘上存储信息。使用手机通信或通过蓝牙或无线网络连接时，会使用不可见的电磁场。电磁场 $E$、$B$ 实际上是一个 $4$ 维空间中的 $2$-形式。$B(4,2)=6$ 个分量是 $(E_1,E_2,E_3,B_1,B_2,B_3)$。
4. 第四种方式来自离散化。在离散网络上表述斯托克斯定理时，一切都简单得多：一个 $k$-形式只是网络上的定向 $k$ 维完全子图上的一个函数。从一个图 $G=(V,E)$ 开始，并任意定向完全子图。给定一个 $k$-形式 $F$，一个在 $k$ 单纯形上的函数，其在 $k+1$ 维单纯形 $x$ 处的外微分定义为 $dF(x)=\sum _{y\subset x}\sigma (y,x)F(y)$，其中求和遍及 $x$ 的所有 $k$ 维子单纯形，并且如果 $y$ 的定向与 $x$ 的定向匹配，则 $\sigma (y,x)=1$，否则为 $-1$。例如，我们已经看到，对于一个 $1$-形式 $F$（边上的函数），在三角形 $x$ 处的外微分是边的 $F$ 值的和，其中如果边的箭头与三角形的定向不匹配，则负向累加该值。

35.5 应用

35.5.1 从一形式到拉普拉斯算子的电磁对偶性

一个电磁场由 $4$ 维时空中的一个 $1$-形式 $A$ 决定。电磁场是 $F=dA$。麦克斯韦方程组是 $dF=0$（关系 $d\circ d=0$ 在作业中看到）。麦克斯韦方程组的第二部分是 $d^{\ast }F=j$，其中 $d^{\ast }:{\mathrm{\Lambda }}^p\to {\mathrm{\Lambda }}^{p-1}$ 是伴随算子，$j$ 是一个 $1$-形式，编码了电荷和电流。我们总可以用一个梯度 $A+df$ 进行规范变换，使得 $d^{\ast }(A+df)=0$（库仑规范）。利用 $d^{\ast }A=0$，麦克斯韦方程组简化为泊松方程 $$LA=(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d)A=j,$$ 其中 $L$ 是 $1$-形式上的拉普拉斯算子。电流 $j$ 通过简单地求拉普拉斯算子的逆来定义电磁场 $F$。这在连续情况下有点棘手，因为逆是一个积分算子。⁵ 在离散情况下，它只是矩阵 $L$ 的逆，顺便说一句，如果图 $G=(V,E)$ 是单连通的，那么它总是一个可逆的 $|E|\times |E|$ 矩阵。于是就有了光！

练习