正态概率律的重要性

自十八世纪初以来，正态分布函数和正态概率律在概率论中扮演了重要角色，理解这种重要性从何而来至关重要。

首先，确实存在精确服从正态概率律的随机现象。一个例子是，在绝对温度为$T$ 的气体中，分子（质量为$M$ ）在任意给定方向上的速度（根据麦克斯韦速度分布律，该速度服从参数为$m=0$ 和${\sigma }^2=M/kT$ 的正态概率律，其中$k$ 是称为玻尔兹曼常数的物理常数）。然而，除某些物理现象外，精确服从正态概率律的随机现象并不多见。更确切地说，正态概率律的重要性源于这样一个事实：在各种条件下，它们能非常近似地描述许多其他概率律。

正态分布函数首次被提出（见于棣莫弗1733年的著作），是作为对参数为$n$ 和$p$ 的二项概率律的分布函数，在$n$ 取大值时进行近似评估的一种方法。这一事实是概率论中著名的中心极限定理（将在第8章和第10章讨论）的一个特例，该定理描述了一类非常普遍的随机现象，其分布函数可以用正态分布函数来近似。

正态概率律具有许多易于处理的特性。因此，为了数学上的便利，在实践中，如果一个随机现象的真实概率律由一个概率密度函数指定，且该函数的形状与正态密度函数相似，即具有一个大致对称的单峰，那么人们常常可以假设该随机现象服从正态概率律。例如，人类的身高似乎服从一个具有近似钟形概率密度函数的概率律。因此，人们可能会在某些方面假设这个量服从正态概率律。然而，使用这种近似时必须谨慎；例如，一个服从正态分布的随机量，其取值在$-{10}^6$ 和$-{10}^{100}$ 之间是可以想象的，尽管其发生的概率可能极其微小。另一方面，没有任何人的身高能取如此大的负值。从这个意义上说，声称人的身高近似服从正态概率律是不正确的。尽管如此，为了利用正态分布计算简便的优势，人们仍可能坚持认为人的身高近似服从正态概率律。只要清楚地记住这种近似的理由，使用它似乎并无太大风险。

随机现象近似服从正态概率律还有另一层含义。可能出现的情况是，一个经测量不服从正态概率律的随机现象，可以通过对测量值进行数值变换，转化为一个确实服从正态概率律的随机现象。例如，在动物体重不服从正态概率律的情况下，其体重的立方根可能服从正态概率律（因为体重的立方根可能与身高成比例）。

最后，即使对于研究不服从正态概率律的随机现象，正态密度函数的研究也很重要，因为在某些条件下，其概率密度函数可以展开为一个无穷函数级数，该级数的各项涉及正态密度函数的逐次导数。