有限样本描述空间

为了深入了解我们在定义概率函数时所拥有的自由度，考虑有限样本描述空间是有益的。随机观测或实验的样本描述空间 $S$ 如果其大小是有限的，则被定义为有限的，也就是说，所考虑的随机观测或实验只拥有有限数量的可能结果。

现在考虑一个大小为 $N$ 的有限样本描述空间 $S$ 。我们可以列出 $S$ 中的描述。如果我们用 $D_{1}$ 、 $D_{2}, \dots, D_{N}$ 表示 $S$ 中的描述，那么我们可以写成 $S = {D_{1}, D_{2}, \dots, D_{N}}$ 。例如，设 $S$ 为抛掷两枚硬币的随机实验的样本描述空间；如果我们定义 $D_{1} = (H, H), D_{2} = (H, T), D_{3} = (T, H), D_{4} =$ $(T, T)$ ，那么 $S = {D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}}$ 。

第2章第1节指出，在一个大小为 $N$ 的有限样本描述空间上，可以定义 $2^{N}$ 个可能的事件。例如，如果 $S = {D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}}$ ，那么可以定义十六个可能的事件；即 $S$ 、 $\emptyset$ 、 ${D_{1}}$ 、 ${D_{2}}$ 、 ${D_{3}}$ 、 ${D_{4}}$ 、 ${D_{1}, D_{2}}$ 、 ${D_{1}, D_{3}}$ 、 ${D_{1}, D_{4}}$ 、 ${D_{2}, D_{3}}$ 、 ${D_{2}, D_{4}}$ 、 ${D_{3}, D_{4}}$ 、 ${D_{1}, D_{2}, D_{3}}$ 、 ${D_{1}, D_{2}, D_{4}}$ 、 ${D_{1}, D_{3}, D_{4}}$ 、 ${D_{2}, D_{3}, D_{4}}$ 。

因此，要在 $S$ 的子集上定义一个概率函数 $P [\cdot]$ ，需要指定当 $A$ 在 $S$ 上的事件中变化时， $P [A]$ 所取的 $2^{N}$ 个值。然而，概率函数的值不能任意指定，而必须满足公理1至3。

存在某些结构特别简单的事件，称为单成员事件，在这些事件上指定概率函数 $P [\cdot]$ 就足以确定所有事件的概率函数。单成员事件是恰好包含一个描述的事件。如果一个事件 $E$ 的唯一成员是描述 $D_{i}$ ，这一事实可以用符号表示为 $E = {D_{i}}$ 。因此， ${D_{i}}$ 是当且仅当被观测的随机情况具有描述 $D_{i}$ 时发生的事件。读者应注意 $D_{i}$ 和 ${D_{i}}$ 之间的区别；前者是一个描述，后者是一个事件（由于其结构简单，被称为单成员事件）。

例6A. 单成员事件与样本描述的区别。假设我们从一个装有六个编号为1到6的球的瓮中抽取一个球（或者，我们可能是在观察掷一个各面标有数字1到6的骰子的结果）。作为样本描述空间 $S$ ，我们取 $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 。实验结果为2的事件，记为 ${2}$ ，是一个单成员事件。实验结果为偶数的事件，记为 ${2, 4, 6}$ ，不是一个单成员事件。注意，2是一个描述，而 ${2}$ 是一个事件。

定义在 $S$ 上的概率函数 $P [\cdot]$ 可以通过给出其在对应于 $S$ 成员的单成员事件 ${D_{i}}$ 上的值 $P [{D_{i}}]$ 来指定。其在任何事件 $E$ 上的值 $P [E]$ 然后可以通过以下公式计算：

当样本描述空间有限时计算事件概率的公式。设 $E$ 是有限样本描述空间 $S = {D_{1}, D_{2}, \dots, D_{N}}$ 上的任意事件。那么事件 $E$ 的概率 $P [E]$ 是对所有属于 $E$ 的描述 $D_{i}$ 的概率 $P [{D_{i}}]$ 求和；我们用符号表示为，如果 $E = {D_{i_{1}}, D_{i_{2}}, \dots, D_{i_{k}}}$ ，那么

要证明(6.1)，只需注意如果 $E$ 由描述 $D_{i_{1}}, D_{i_{2}}, \dots, D_{i_{k}}$ 组成，那么 $E$ 可以写成互斥的单成员事件 ${D_{i_{1}}}, {D_{i_{2}}}, \dots, {D_{i_{k}}}$ 的并集。方程(6.1)直接由 (5.8) 得出。

例6B. 说明(6.1)的使用。假设从装有白球和红球的瓮中抽取一个大小为2的样本。假设作为该实验的样本描述空间，我们取 $S = {(W, W), (W, R), (R, W), (R, R)}$ 。要在 $S$ 上指定一个概率函数 $P [\cdot]$ ，可以通过一个表格指定 $P [\cdot]$ 在单成员事件上的值：

$x$	$(W, W)$	$(W, R)$	$(R, W)$	$(R, R)$
$P [{x}]$	$\frac{6}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$

设 $E$ 是第一次抽取的球是白色的事件。事件 $E$ 可以表示为描述集合 $E = {(W, W), (W, R)}$ 。那么，根据 (6.1) ， $P [E] = P [{(W, W)}] + P [{(W, R)}] = \frac{2}{3}$ 。