数值随机现象的概念

为了引入数值随机现象的概念，让我们首先考虑一个样本描述空间 $S$ 为实数集的随机现象；例如，从瓮中抽取的容量为 $n$ 的样本中白球的数量，或在 $n$ 次独立投掷飞镖中命中的次数。对于这些随机现象中的每一个，其样本描述空间都可以取集合 $\{0,1,2,\dots ,n\}$ 。然而，之前已经指出（在第1章第 3 节），人们可以使样本描述空间 $S$ 任意大，代价是在 $S$ 中有大量被赋予零概率的样本描述。因此，对于这些现象，我们可以取从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ 的所有实数构成的集合作为样本描述空间。这种做法的优点可能在于，它将使得为样本描述空间为实数集的随机现象建立一个统一的理论成为可能。

还有另一个优点。假设某人正在测量属于某个群体的人们的体重。他可以将体重测量到最接近的磅、最接近的十分之一磅，或最接近的百分之一磅。在第一种情况下，空间 $S=\{\text{实数 }x:x=k\text{ 对于某个整数 }k=0,1,2,\dots ,{10}^4\}$ 足以作为样本描述空间；在第二种情况下，$S=$ 实数 $x:x=k/10$ 对于某个整数 $k=0,1,2,\dots ,{10}^5\}$ 就足够了；在第三种情况下，$S=\{\text{实数 }x:x=k/100\text{ 对于某个整数 }k=0,1,2,\dots ,{10}^6\}$ 就足够了。然而，在所有这三种情况下，可能更可取的做法是取从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ 的所有数构成的集合作为样本描述空间，并根据用于描述这三种随机现象的不同概率函数来发展这三种情况之间的差异。

因此，我们被引导将 数值随机现象 的概念定义为一个样本描述空间为集合 $R$ 的随机现象，该集合由从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ 的所有实数组成。集合 $R$ 可以用一条 实直线 来几何表示，这是一条无限长的直线，其上已标出原点和单位距离；那么，直线上的每一点都对应一个实数，而每一个实数都对应直线上的一个点。

我们之前已将事件定义为一组样本描述的集合；因此，定义在数值随机现象上的事件是实数的集合 。然而，并非每一个实数集合都能被视为一个事件。存在某些实数集合，它们由极其复杂的极限运算定义，是不可概率化的，这意味着对于这些集合，通常不可能以与下文公理一致的方式回答“给定的数值随机现象的观测值落在该集合中的概率是多少？”这个问题。因此，我们所说的“事件”并非指任何实数集合，而仅指可概率化的实数集合。在我们讨论的这个阶段，我们尚未掌握用以刻画可概率化实数集合的概念。我们只能指出，可以证明可概率化集合的族（记作 $ℱ$ ）总是具有以下性质：

1. $ℱ$ 包含任何区间（区间是形如 或 $\{x:a\le x\le b\}$ 的实数集合，其中 $a$ 和 $b$ 可以是有限数或无穷数）。
2. $ℱ$ 包含属于 $ℱ$ 的任何集合 $A$ 的补集 $A^c$ 。
3. $ℱ$ 包含属于 $ℱ$ 的任何集合序列 $A_1,A_2,\dots$ , $A_n,\dots$ 的并集 $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ 。

如果我们希望在讨论的这个阶段给出事件概念的精确定义，我们可以这样做。在实直线上存在一个具有性质 (i)、(ii) 和 (iii) 的最小集合族。这个族记作 $ℬ$ ，并且 $ℬ$ 的任何成员都称为一个博雷尔集，以纪念伟大的法国数学家和概率学家埃米尔·博雷尔。由于 $ℬ$ 是具有性质 (i)、(ii) 和 (iii) 的最小族，因此 $ℬ$ 包含在可概率化集合的族 $ℱ$ 中。因此，每个博雷尔集都是可概率化的。由于将我们的讨论限制在博雷尔集上完全满足了数学严谨性的需要，在本书中，关于数值随机现象的“事件” 我们指的是实数的博雷尔集 。

我们将本节的讨论总结为一个正式的定义。

练习