矩阵

现在让我们理清头绪；在引入了线性变换这一新概念之后，我们现在必须弄清楚它与基、线性泛函等旧概念有什么关系。

在研究有限维向量空间上的线性变换时，最重要的工具之一就是矩阵的概念。由于这一概念在无限维空间中通常没有合适的对应物，而且在大多数讨论中都可以不使用它，因此我们在证明定理时将尽量不使用它。然而，了解什么是矩阵是很重要的；我们现在进入详细的讨论。

定义 1. 设 $𝒱$ 是一个 $n$ 维向量空间，设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 的任意一个基，并设 $A$ 是 $𝒱$ 上的一个线性变换。由于每个向量都是 $x_{i}$ 的线性组合，特别地，对于 $j = 1, \dots, n$ ，我们有 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ 。由双下标 $i$ , $j$ 索引的 $n^{2}$ 个标量的集合 $(α_{i j})$ 是 $A$ 在坐标系 $𝒳$ 下的矩阵；我们通常将其记为 $[A]$ ，或者，如果需要指出所考虑的特定基 $𝒳$ ，则记为 $[A; 𝒳]$ 。矩阵 $(α_{i j})$ 通常写成方阵的形式： $[A] = [\begin{matrix} α_{11} & α_{12} & \dots & α_{1 n} \\ α_{21} & α_{22} & \dots & α_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α_{n 1} & α_{n 2} & \dots & α_{n n} \end{matrix}];$ 标量 $(α_{i 1}, \dots, α_{i n})$ 构成 $[A]$ 的一行，而 $(α_{1 j}, \dots, α_{n j})$ 构成其一列。

这个定义并没有定义“矩阵”本身；它定义的是“在某些条件下与线性变换相关联的矩阵”。将矩阵视为独立存在的标量方阵通常是有用的；然而，在本书中，矩阵通常会与线性变换和基绑定在一起。

我们对记号做一些说明。习惯上，矩阵和变换使用相同的符号，例如 $A$ 。这样做的合理性可以在下面（关于矩阵性质）的讨论中找到。我们在这里不遵循这一习惯，因为我们关于矩阵的主要目的之一是强调它们依赖于坐标系（而线性变换的概念则不依赖），并研究当我们从一个坐标系过渡到另一个坐标系时，矩阵与线性变换之间的关系是如何变化的。

我们还想请大家注意矩阵 $[A]$ 中元素 $α_{i j}$ 索引的一个独特性。基就是基，到目前为止，尽管我们通常用前 $n$ 个正整数来索引它的元素，但其中元素的顺序是完全无关紧要的。然而，在谈到矩阵时，习惯上会提到诸如第一行或第一列。只有当我们认为基 $𝒳$ 的元素是按特定顺序排列时，这种说法才是合理的。由于在我们的绝大多数讨论中，矩阵的行和列的顺序与基元素的顺序一样无关紧要，因此我们在定义中没有包含矩阵的这一方面。然而，重要的是要认识到，与 $[A]$ 相关联的方阵的外观会随着 $𝒳$ 的排序而改变。

因此，我们关于矩阵所要说的一切，都可以从两个不同的观点来解释；要么严格按照我们定义的字面意思，要么遵循一个修改后的定义，该定义使一个矩阵（具有有序的行和列）不仅对应于一个线性变换和一个基，而且还对应于该基的一个排序。

对知情者再多说一句。这不是作者的任性，而是大自然的怪癖，使得我们写成

$A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$

而不是更常用的方程

$A x_{i} = \sum_{j} α_{i j} x_{j} .$

其原因在于，我们希望矩阵乘法以及矩阵应用于数值向量（即 $ℂ^{n}$ 中的向量 $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ ）的公式看起来是正常的，而在从向量过渡到其坐标的过程中，某些地方的指标发生了颠倒。明确地阐述我们的规则：将 $A x_{j}$ 写为 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 的线性组合，并将由此得到的系数写为矩阵 $[A]$ 的第 $j$ 列。（ $α_{i j}$ 上的第一个指标总是行指标；第二个指标是列指标。）

作为一个例子，我们考虑空间 $𝒫_{n}$ 上的微分变换 $D$ ，以及由 $x_{i} (t) = t^{i - 1}$ , $i = 1, \dots, n$ 定义的基 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 。在这个基下， $D$ 的矩阵是什么？我们有因此

通过比较 (1) 和 (2)，可以看到指标颠倒这一令人不快的现象。