正确的价值观

如果 $Ax=\lambda x$ ，则标量 $\lambda$ 是线性变换 $A$ 的一个特征值，而非零向量 $x$ 是其特征向量。在文献中，几乎所有形容词 proper（固有的）、latent（潜在的）、characteristic（特征的）、eigen（本征的）和 secular（久期的），与名词 root（根）、number（数）和 value（值）的组合，都被用来指代我们所说的特征值。在定义中注意选择的顺序是很重要的；如果存在一个非零向量 $x$ 使得 $Ax=\lambda x$ ，那么 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，而如果存在一个标量 $\lambda$ 使得 $Ax=\lambda x$ ，那么非零向量 $x$ 是 $A$ 的特征向量。

假设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值；设 $ℳ$ 是属于该特征值的 $A$ 的所有特征向量 $x$ 的集合，即满足 $Ax=\lambda x$ 的向量集合。由于根据我们的定义， $0$ 不是特征向量，因此 $ℳ$ 不包含 $0$ ；然而，如果我们通过将原点并入 $ℳ$ 来扩大它，那么 $ℳ$ 就变成了一个子空间。我们将特征值 $\lambda$ 的重数定义为子空间 $ℳ$ 的维数；单特征值是指重数等于 $1$ 的特征值。通过对这一术语的显而易见的推广，我们可以通过说 $\lambda$ 是重数为零的特征值，来表示标量 $\lambda$ 根本不是 $A$ 的特征值这一事实。 $A$ 的特征值集合有时被称为 $A$ 的谱。注意， $A$ 的谱与使 $A-\lambda$ 不可逆的所有标量 $\lambda$ 的集合是相同的。

如果我们所研究的向量空间的维数为 $n$ ，那么标量 $0$ 是线性变换 $0$ 的重数为 $n$ 的特征值，类似地，标量 $1$ 是线性变换 $1$ 的重数为 $n$ 的特征值。由于 $Ax=\lambda x$ 当且仅当 $(A-\lambda )x=0$ ，即当且仅当 $x$ 在 $A-\lambda$ 的零空间中，因此可以得出， $\lambda$ 作为 $A$ 的特征值的重数与线性变换 $A-\lambda$ 的零度相同。由此，我们反过来推断出（参见 章节：秩与零度 ，定理 1）， $A$ 的特征值及其对应的重数与 的特征值及其重数完全相同。

我们注意到，如果 $B$ 是任何可逆变换，那么 $$BA{B}^{-1}-\lambda =B(A-\lambda )B^{-1},$$ 从而 $(A-\lambda )x=0$ 当且仅当 $(BA{B}^{-1}-\lambda )Bx=0$ 。这说明所有的谱概念（例如，特征值的谱和重数）在用 $BA{B}^{-1}$ 代替 $A$ 时都是不变的。我们还注意到，如果 $Ax=\lambda x$ ，那么 更一般地，如果 $p$ 是任意多项式，那么 $p(A)x=p(\lambda )x$ ，因此属于特征值 $\lambda$ 的 $A$ 的每个特征向量，也是属于特征值 $p(\lambda )$ 的 $p(A)$ 的特征向量。因此，如果 $A$ 满足任何形如 $p(A)=0$ 的方程，那么对于 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，都有 $p(\lambda )=0$ 。

由于 $A-\lambda$ 具有非平凡零空间的充要条件是它是奇异的，即 $\det (A-\lambda )=0$ ，因此可以得出， $\lambda$ 是 $A$ 的特征值当且仅当它是 $A$ 的特征根。这一事实正是行列式在线性代数中如此重要的原因。有用的几何概念是特征值。然而，从几何情况来看，是不可能证明存在任何特征值的。通过行列式，我们将该问题简化为一个代数问题；结果表明，特征值与某个多项式方程的根是相同的。现在不难理解为什么很难证明特征值总是存在了：多项式方程并不总是具有根，相应地，也很容易举出没有特征值的线性变换的简单例子。