投影与不变性

我们已经看到，投影的研究等价于直和分解的研究。通过投影，我们还可以研究不变性和可约性的概念。

定理 1。如果子空间 $ℳ$ 在线性变换 $A$ 下是不变的，那么对于 $ℳ$ 上的每一个投影 $E$ ，都有 $E A E = A E$ 。反之，如果对于 $ℳ$ 上的某个投影 $E$ ，有 $E A E = A E$ ，那么 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的。

证明。假设 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，且对于某个 $𝒩$ ，有 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ；设 $E$ 是沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影。对于任意 $z = x + y$ （其中 $x$ 在 $ℳ$ 中， $y$ 在 $𝒩$ 中），我们有 $A E z = A x$ 和 $E A E z = E A x$ ；因为 $x$ 在 $ℳ$ 中保证了 $A x$ 在 $ℳ$ 中，所以可以得出 $E A x$ 也等于 $A x$ ，正如所求。

反之，假设 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ，且对于沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影 $E$ ，有 $E A E = A E$ 。如果 $x$ 在 $ℳ$ 中，那么 $E x = x$ ，从而有 $E A x = E A E x = A E x = A x,$ 因此 $A x$ 也在 $ℳ$ 中。 ◻

定理 2。如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是满足 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ 的子空间，那么线性变换 $A$ 被数对 $(ℳ, 𝒩)$ 约化的充分必要条件是 $E A = A E$ ，其中 $E$ 是沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影。

证明。首先我们假设 $E A = A E$ ，并证明 $A$ 被 $(ℳ, 𝒩)$ 约化。如果 $x$ 在 $ℳ$ 中，那么 $A x = A E x = E A x$ ，从而 $A x$ 也在 $ℳ$ 中；如果 $x$ 在 $𝒩$ 中，那么 $E x = 0$ 且 $E A x = A E x = A 0 = 0$ ，从而 $A x$ 也在 $𝒩$ 中。

接着我们假设 $A$ 被 $(ℳ, 𝒩)$ 约化，并证明 $E A = A E$ 。因为 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，定理 1 确保我们有 $E A E = A E;$ 因为 $𝒩$ 在 $A$ 下也是不变的，且因为 $1 - E$ 是到 $𝒩$ 上的投影，同理我们有 $(1 - E) A (1 - E) = A (1 - E) .$ 从第二个等式中，在进行指定的乘法并化简后，我们得到 $E A E = E A$ ；这就完成了定理的证明。 ◻

练习

练习 1。

假设 $E$ 是向量空间 $𝒱$ 上的一个投影，并假设重新定义标量乘法，使得标量 $α$ 与向量 $x$ 的新乘积是 $α$ 与 $E x$ 的旧乘积。证明向量加法（旧）和标量乘法（新）满足向量空间的所有公理，除了 $1 \cdot x = x$ 。
在何种程度上，(a) 中描述的方法是构造满足除 $1 \cdot x = x$ 之外的向量空间所有公理的系统的唯一方法？

练习 2。

假设 $𝒱$ 是一个向量空间， $x_{0}$ 是 $𝒱$ 中的一个向量，且 $y_{0}$ 是 $𝒱$ 上的一个线性泛函；对 $𝒱$ 中的每个 $x$ ，记 $A x = [x, y_{0}] x_{0}$ 。在关于 $x_{0}$ 和 $y_{0}$ 的什么条件下， $A$ 是一个投影？
如果 $A$ 是，比方说，沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影，用 $x_{0}$ 和 $y_{0}$ 来刻画 $ℳ$ 和 $𝒩$ 。

练习 3。如果 $A$ 是在线性变换空间上左乘 $P$ （参见章节：变换的矩阵，练习 5），在关于 $P$ 的什么条件下， $A$ 是一个投影？

练习 4。如果 $A$ 是一个线性变换，如果 $E$ 是一个投影，且如果 $F = 1 - E$ ，那么 $A = E A E + E A F + F A E + F A F$ 利用这个结果来证明分块（方）矩阵的乘法法则（如在章节：变换的矩阵，练习 19 中）。

练习 5。

如果 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 分别是沿着 $𝒩_{1}$ 和 $𝒩_{2}$ 到 $ℳ_{1}$ 和 $ℳ_{2}$ 上的投影，且如果 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 对易，那么 $E_{1} + E_{2} - E_{1} E_{2}$ 是一个投影。
如果 $E_{1} + E_{2} - E_{1} E_{2}$ 是沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影，用 $ℳ_{1}$ 、 $ℳ_{2}$ 、 $𝒩_{1}$ 和 $𝒩_{2}$ 来描述 $ℳ$ 和 $𝒩$ 。

练习 6。

寻找一个线性变换 $A$ ，使得 $A^{2} (1 - A) = 0$ 但 $A$ 不是幂等的。
寻找一个线性变换 $A$ ，使得 $A (1 - A)^{2} = 0$ 但 $A$ 不是幂等的。
证明如果 $A$ 是一个线性变换，满足 $A^{2} (1 - A) = A (1 - A)^{2} = 0$ ，那么 $A$ 是幂等的。

练习 7。

证明如果 $E$ 是有限维向量空间上的一个投影，那么存在一个基 $𝒳$ ，使得 $E$ 关于 $𝒳$ 的矩阵 $(e_{i j})$ 具有以下特殊形式：对于所有的 $i$ 和 $j$ ， $e_{i j} = 0$ 或 $1$ ，且当 $i \neq j$ 时， $e_{i j} = 0$ 。
对合是一个满足 $U^{2} = 1$ 的线性变换 $U$ 。证明如果 $1 + 1 \neq 0$ ，那么等式 $U = 2 E - 1$ 在所有投影 $E$ 与所有对合 $U$ 之间建立了一一对应关系。
(a) 和 (b) 对有限维向量空间上对合的矩阵意味着什么？

练习 8。

在所有向量 $(ξ_{1}, ξ_{2})$ 的空间 $ℂ^{2}$ 中，设 $ℳ^{+}$ 、 $𝒩_{1}$ 和 $𝒩_{2}$ 分别是特征为 $ξ_{1} = ξ_{2}$ 、 $ξ_{1} = 0$ 和 $ξ_{2} = 0$ 的子空间。如果 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 分别是沿着 $𝒩_{1}$ 和 $𝒩_{2}$ 到 $ℳ^{+}$ 上的投影，证明 $E_{1} E_{2} = E_{2}$ 且 $E_{2} E_{1}$ $= E_{1}$ 。
设 $ℳ^{-}$ 是特征为 $ξ_{1} = - ξ_{2}$ 的子空间。如果 $E_{0}$ 是沿着 $ℳ^{-}$ 到 $𝒩_{2}$ 上的投影，那么 $E_{2} E_{0}$ 是一个投影，但 $E_{0} E_{2}$ 不是。

练习 9。证明如果 $E$ 、 $F$ 和 $G$ 是在特征不等于 $2$ 的域上的向量空间上的投影，且如果 $E + F + G = 1$ ，那么 $E F = F E = E G = G E = F G = G F = 0.$ 对于四个投影而不是三个，该证明是否成立？