幂零性

为了获得比三角表示定理更具信息量的表示定理，我们接下来引入并研究一类非常特殊但很有用的变换。如果存在一个严格正整数 $q$ 使得 $A^{q} = 0$ ，则称线性变换 $A$ 是幂零的；满足该条件的最小整数 $q$ 称为幂零指数。

定理 1。设 $A$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 上的指数为 $q$ 的幂零线性变换，且设 $x_{0}$ 是一个使得 $A^{q - 1} x_{0} \neq 0$ 的向量，则向量 $x_{0}, A x_{0}, \dots, A^{q - 1} x_{0}$ 是线性无关的。如果 $ℋ$ 是由这些向量张成的子空间，则存在一个子空间 $𝒦$ 使得 $𝒱 = ℋ \oplus 𝒦$ ，并且使得对 $(ℋ, 𝒦)$ 约化 $A$ 。

证明。为了证明所断言的线性无关性，假设 $\sum_{i = 0}^{q - 1} α_{i} A^{i} x_{0} = 0$ ，并设 $j$ 是使得 $α_{j} \neq 0$ 的最小指标。（我们不排除 $j = 0$ 的可能性。）两边同除以 $- α_{j}$ 并以显而易见的方式改变记号，我们得到如下形式的关系式

由 $q$ 的定义可得

由于这与 $x_{0}$ 的选择相矛盾，我们必须对每个 $j$ 都有 $α_{j} = 0$ 。

显然 $ℋ$ 在 $A$ 下是不变的；为了构造 $𝒦$ ，我们对幂零指数 $q$ 进行归纳。如果 $q = 1$ ，结果是平凡的；我们现在假设定理对 $q - 1$ 成立。 $A$ 的值域 $ℛ$ 是一个在 $A$ 下不变的子空间；限制在 $ℛ$ 上时，线性变换 $A$ 是指数为 $q - 1$ 的幂零变换。我们记 $ℋ_{0} = ℋ \cap ℛ$ 且 $y_{0} = A x_{0}$ ；那么 $ℋ_{0}$ 是由线性无关的向量 $y_{0}, A y_{0}, \dots, A^{q - 2} y_{0}$ 张成的。可以应用归纳假设，从而我们可以得出结论： $ℛ$ 是 $ℋ_{0}$ 与某个其他不变子空间 $𝒦_{0}$ 的直和。

我们用 $𝒦_{1}$ 表示所有使得 $A x$ 属于 $𝒦_{0}$ 的向量 $x$ 的集合；显然 $𝒦_{1}$ 是一个子空间。人们很容易倾向于设 $𝒦 = 𝒦_{1}$ 并试图证明 $𝒦$ 具有所需的性质。不幸的是，这不一定成立； $ℋ$ 和 $𝒦_{1}$ 不一定是不相交的。（确实如此——尽管我们不会用到这个事实——即 $ℋ$ 和 $𝒦_{1}$ 的交集包含在 $A$ 的零空间中。）尽管如此， $𝒦_{1}$ 依然有用，其原因在于 $ℋ + 𝒦_{1} = 𝒱$ 这一事实。为了证明这一点，注意到对每个 $x$ ， $A x$ 都在 $ℛ$ 中，因此有 $A x = y + z$ ，其中 $y$ 在 $ℋ_{0}$ 中， $z$ 在 $𝒦_{0}$ 中。 $ℋ_{0}$ 的一般元素是 $A x_{0}, \dots, A^{q - 1} x_{0}$ 的线性组合；因此我们有

其中 $y_{1}$ 在 $ℋ$ 中。由此可得 $A x = A y_{1} + z$ ，或 $A (x - y_{1}) = z$ ，从而 $A (x - y_{1})$ 在 $𝒦_{0}$ 中。这意味着 $x - y_{1}$ 在 $𝒦_{1}$ 中，因此 $x$ 是 $ℋ$ 的一个元素（即 $y_{1}$ ）与 $𝒦_{1}$ 的一个元素（即 $x - y_{1}$ ）之和。

就交集为空（不相交性）而言，我们至少可以说 $ℋ \cap 𝒦_{0} = 𝒪$ 。为了证明这一点，假设 $x$ 在 $ℋ \cap 𝒦_{0}$ 中，首先注意到 $A x$ 在 $ℋ_{0}$ 中（因为 $x$ 在 $ℋ$ 中）。由于 $𝒦_{0}$ 在 $A$ 下也是不变的，向量 $A x$ 与 $x$ 一同属于 $𝒦_{0}$ ，从而有 $A x = 0$ 。由此我们推断出 $x$ 在 $ℋ_{0}$ 中。（因为 $x$ 在 $ℋ$ 中，我们有 $x = \sum_{i = 0}^{q - 1} α_{i} A^{i} x_{0}$ ；因此有 $0 = A x = \sum_{i = 1}^{q - 1} α_{i - 1} A^{i} x_{0}$ ；由 $A^{j} x_{0}$ 的线性无关性可得 $α_{0} = \dots = α_{q - 2} = 0$ ，从而有 $x = α_{q - 1} A^{q - 1} x_{0}$ 。）我们已经证明，如果 $x$ 属于 $ℋ \cap 𝒦_{0}$ ，那么它也属于 $ℋ_{0} \cap 𝒦_{0}$ ，从而有 $x = 0$ 。

现在的情况是： $ℋ$ 和 $𝒦_{1}$ 共同张成 $𝒱$ ，且 $𝒦_{1}$ 包含两个不相交的子空间 $𝒦_{0}$ 和 $ℋ \cap 𝒦_{1}$ 。如果我们设是 $𝒦_{0} \oplus (ℋ \cap 𝒦_{1})$ 在 $𝒦_{1}$ 中的任意补空间，也就是说，如果那么我们可以写成；我们断言这个 $𝒦$ 具有所需的性质。首先， $𝒦 \subset 𝒦_{1}$ 且 $𝒦$ 与 $ℋ \cap 𝒦_{1}$ 不相交；由此可得 $ℋ \cap 𝒦 = 𝒪$ 。其次， $ℋ \oplus 𝒦$ 既包含 $ℋ$ 又包含 $𝒦_{1}$ ，因此有 $ℋ \oplus 𝒦 = 𝒱$ 。最后， $𝒦$ 在 $A$ 下是不变的，因为 $𝒦 \subset 𝒦_{1}$ 这一事实意味着 $A 𝒦 \subset 𝒦_{0} \subset 𝒦$ 。定理的证明至此完成。 ◻

稍后我们将需要以下评注。如果 ${\tilde{x}}_{0}$ 是任何其他使得 $A^{q - 1} {\tilde{x}}_{0} \neq 0$ 的向量，如果 $\tilde{ℋ}$ 是由向量 $x_{0}, A x_{0}, \dots, A^{q - 1} {\tilde{x}}_{0}$ 张成的子空间，并且最后，如果 $\tilde{𝒦}$ 是与 $\tilde{ℋ}$ 一同约化 $A$ 的任意子空间，那么 $A$ 在 $\tilde{ℋ}$ 和 $\tilde{𝒦}$ 上的行为分别与它在 $ℋ$ 和 $𝒦$ 上的行为相同。（换句话说，尽管定理 1 的陈述中存在表面上的非唯一性，但实际上一切在同构意义下都是唯一确定的。）这一评注的正确性源于以下事实： $A$ 在 $𝒦$ 上的幂零指数（不妨设为 $r$ ）与 $A$ 在 $\tilde{𝒦}$ 上的幂零指数（不妨设为 $\tilde{r}$ ）相同。反过来，这个事实的证明如下。由于 $A^{r} 𝒱 = A^{r} ℋ + A^{r} 𝒦$ 且同样有 $A^{r} 𝒱 = A^{r} \tilde{ℋ} + A^{r} \tilde{𝒦}$ （这些结果取决于所有相关子空间的不变性），因此这些等式右侧的维数可以令其相等，从而有 $(q - r) + 0 = (q - r) + (\tilde{r} - r)$ 。

利用定理 1，我们可以找到幂零变换的完整几何特征。

定理 2。设 $A$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 上的指数为 $q$ 的幂零线性变换，则存在正整数 $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ 和向量 $x_{1}, \dots, x_{r}$ 使得 (i) $q_{1} \geq \dots \geq q_{r}$ ，(ii) 向量

构成 $𝒱$ 的一组基，且 (iii) $A^{q_{1}} x_{1} = A^{q_{2}} x_{2} = \dots = A^{q_{r}} x_{r} = 0$ 。整数 $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ 构成了 $A$ 的一组完整的同构不变量。换句话说，如果 $B$ 是有限维向量空间 $𝒲$ 上的任何其他幂零线性变换，那么存在一个 $𝒱$ 与 $𝒲$ 之间的同构 $T$ 使得 $T A T^{- 1} = B$ 的充要条件是：与 $B$ 关联的整数 $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ 与与 $A$ 关联的整数相同。

证明。我们记 $q_{1} = q$ ，并选择 $x_{1}$ 为任何使得 $A^{q_{1} - 1} x_{1} \neq 0$ 的向量。由 $x_{1}, A x_{1}, \dots, A^{q_{1} - 1} x_{1}$ 张成的子空间在 $A$ 下是不变的，并且根据定理 1，它拥有一个不变补空间，自然地，该补空间的维数严格小于 $𝒱$ 的维数。在这个补空间上， $A$ 是幂零的，不妨设其指数为 $q_{2}$ ；我们对该子空间应用相同的约化步骤（从一个使得 $A^{q_{2} - 1} x_{2} \neq 0$ 的向量 $x_{2}$ 开始）。

我们如此通过归纳继续进行，直到耗尽整个空间。这证明了定理的存在性部分；其余部分由定理 1 所给出的分解的唯一性（在同构意义下）得出。 ◻

关于定理 2 中描述的基 ${A^{i} x_{j}}$ ， $A$ 的矩阵呈现出一种特别简单的形式。不在主对角线正下方对角线上的每个矩阵元素都为零（即， $α_{i j} \neq 0$ 意味着 $j = i - 1$ ），并且主对角线下方的元素（从顶部）以一串 $1$ 开始，后跟一个单独的 $0$ ，然后继续是另一串 $1$ 后跟一个 $0$ ，依此类推直到结束，其中 $1$ 的串的长度单调递减（或者无论如何，是非递增的）。

请注意，本节中并未使用我们关于标量域代数封闭性的常设假设。

习题

练习 1。在 $2$ 维空间上是否存在指数为 $3$ 的幂零变换？

练习 2。

证明有限维向量空间上的幂零线性变换的迹为零。
证明如果 $A$ 和 $B$ 是（在同一个有限维向量空间上的）线性变换，且如果 $C = A B - B A$ ，那么 $1 - C$ 不是幂零的。

练习 3。证明如果 $A$ 是有限维向量空间上指数为 $q$ 的幂零线性变换，那么 $ν (A^{k + 1}) + ν (A^{k - 1}) \leq 2 ν (A^{k})$ 对于 $k = 1, \dots, q - 1$ 成立。

练习 4。如果 $A$ 是（在代数封闭域上的有限维向量空间上的）线性变换，则存在线性变换 $B$ 和 $C$ 使得 $A = B + C$ ， $B$ 是可对角化的， $C$ 是幂零的，且 $B C = C B$ ；变换 $B$ 和 $C$ 由这些条件唯一确定。