多项式

乘法的结合律使我们能够写出三个（或更多）因子的乘积而不需要任何括号；特别地，我们可以考虑任意有限个数（设为 $m$ ）且都等于 $A$ 的因子的乘积。这个乘积仅取决于 $A$ 和 $m$ （正如我们刚才所说，而不取决于因子的任何括号化方式）；我们将它记作 $A^m$ 。这种记法的合理性在于，虽然一般来说变换的乘法不满足交换律，但对于同一个变换的幂，我们确实有通常的指数定律，即 $A^n{A}^m=A^{n+m}$ 和 $(A^n{)}^m=A^{nm}$ 。我们注意到 $A^1=A$ ；根据定义，通常也写作 $A^0=1$ 。有了这些定义，单个变换的幂运算与普通算术中的幂运算几乎完全相同。特别地，我们可以定义线性变换的多项式。因此，如果 $p$ 是变量 $t$ 的具有标量系数的任意多项式，例如 $p(t)={\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+\cdots +{\alpha }_n{t}^n$ ，我们可以构造线性变换

$$p(A)={\alpha }_{0}1+{\alpha }_{1}A+\cdots +{\alpha }_n{A}^n.$$ 

此类多项式的代数运算规则很简单。因此，$p(t)q(t)=r(t)$ 意味着 $p(A)q(A)=r(A)$ （因此，特别地，任何 $p(A)$ 和 $q(A)$ 都是可交换的）；如果 $p(t)=\alpha$ （恒等），我们通常会写成 $p(A)=\alpha$ （而不是 $p(A)=\alpha \cdot 1$ ）；这与在线性变换中使用符号 $0$ 和 $1$ 是一致的。

如果 $p$ 是两个变量的多项式，且 $A$ 和 $B$ 是线性变换，通常无法对 $p(A,B)$ 给出任何合理的解释。问题当然在于 $A$ 和 $B$ 可能不交换，甚至一个简单的单项式，例如 $s^{2}t$ ，也会引起混乱。如果 $p(s,t)=s^{2}t$ ，那么 $p(A,B)$ 应该是什么意思？它应该是 $A^{2}B$ ，还是 $ABA$ ，或者是 $B{A}^2$ ？认识到这里存在困难是很重要的；对我们来说幸运的是，没有必要试图去绕过它。我们只在涉及可交换变换时才会处理多元多项式，这样一切就很简单了。我们注意到，如果 $AB=BA$ ，那么 $A^n{B}^m=B^m{A}^n$ ，因此对于每个多项式 $p$ ，$p(A,B)$ 都有明确的含义。（可交换）变换与多项式之间对应关系的形式性质对于多元和一元同样有效；我们省略细节。

为了说明变换的幂可能具有的行为，我们来看一下 $𝒫$ （或者对于某个 $n$ ，同样也可以是 ${𝒫}_n$ ）上的微分变换 $D$ 。很容易看出，对于每个正整数 $k$ ，以及 $𝒫$ 中的每个多项式 $x$ ，我们有 $(D^{k}x)(t)=\frac{d^{k}x}{d{t}^k}$ 。我们注意到，无论 $D$ 还做了什么，它都会将其作用的多项式的次数正好降低一个单位（当然，假设次数 $\ge 1$ ）。设 $x$ 是一个次数为 $n-1$ 的多项式；什么是 $D^{n}x$ ？或者换一种说法：在空间 ${𝒫}_n$ 上考虑，两个（可交换）变换 $D^k$ 和 $D^{n-k}$ （其中 $k$ 是 $0$ 和 $n$ 之间的任意整数）的乘积是什么？我们提到这个例子是为了引出最后一个问题的答案所暗示的令人不安的事实：两个变换的乘积可能为零，即使它们都不是零。一个与某个非零变换的乘积为零的非零变换被称为零因子。

练习