多重性

前一节的讨论指出了我们想要研究复向量空间的原因之一。根据所谓的代数基本定理，复数域上的多项式方程总是至少有一个根；由此可知，复向量空间上的线性变换总是至少有一个特征值。除了复数域之外，还有其他域，在其上每个多项式方程都是可解的；它们被称为代数闭域。我们目前所追求的这类最一般的结论是，代数闭域上有限维向量空间上的每个线性变换都至少有一个特征值。在本章的其余部分（在接下来的四节中），我们将假设我们的标量域是代数闭的。我们将利用这一假设得出刚才提到的结论，即由此我们可以断定特征值总是存在的。

关于特征值的代数观点启发了重数的另一种可能定义。假设 $A$ 是有限维向量空间上的线性变换，并假设 $λ$ 是 $A$ 的一个特征值。我们可能希望将 $λ$ 作为 $A$ 的特征方程的根的重数来考虑。这是一个有用的概念，我们称之为 $λ$ 的代数重数，以区别于我们之前关于重数的几何概念。

这两个重数的概念并不一致，如下例所示。如果 $D$ 是次数 $\leq n - 1$ 的所有多项式空间 $𝒫_{n}$ 上的求导算子，那么 $𝒫_{n}$ 中的向量 $x$ 是 $D$ 的特征向量的充分必要条件是，对于某个复数 $λ$ ，有 $\frac{d x}{d t} \equiv λ x (t)$ 。我们从微分方程的初等理论中借用一个事实，即该方程的每个解都是 $e^{λ t}$ 的常数倍。因为除非 $λ = 0$ ，否则只有 $e^{λ t}$ 的零倍才是多项式（如果它要属于 $𝒫_{n}$ ，它必须是多项式），所以我们必须有 $λ = 0$ 且 $x (t) = 1$ 。换句话说，这个特定的变换只有一个特征值（因此其代数重数必须为 $n$ ），即 $λ = 0$ ；但是，更令人不安的是，解的线性流形的维度恰好是一。因此，如果 $n > 1$ ，这两个重数的定义给出了不同的值。（在这个论证中，我们使用了一个简单的事实：如果适当地计算重数，代数闭域上次数为 $n$ 的多项式方程恰好有 $n$ 个根。由此可知，在这样的域上， $n$ 维向量空间上的线性变换如果计入代数重数，恰好有 $n$ 个特征值。）

很容易看出， $λ$ 的几何重数绝不会大于其代数重数。事实上，如果 $A$ 是任意线性变换，如果 $λ_{0}$ 是其任意特征值，且如果 $ℳ$ 是 $A x = λ_{0} x$ 的解空间，那么显然 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的。如果 $A_{0}$ 是仅在 $ℳ$ 上考虑的线性变换 $A$ ，那么显然 $\det (A_{0} - λ)$ 是 $det (A - λ)$ 的一个因子。如果 $ℳ$ 的维度（ $=$ $λ_{0}$ 的几何重数）是 $m$ ，那么 $\det (A_{0} - λ) = (λ_{0} - λ)^{m}$ ；所需的结果由代数重数的定义得出。由此还可以得出，如果 $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ 是 $A$ 的互异特征值，其对应的几何重数分别为 $m_{1}, \dots, m_{p}$ ，并且如果恰好有 $\sum_{i = 1}^{p} m_{i} = n$ ，那么对于每个 $i = 1, \dots, p$ ， $m_{i}$ 等于 $λ_{i}$ 的代数重数。

通过特征值及其代数重数，我们可以刻画线性变换的两个有趣的函数；其中一个是行列式，另一个是全新的东西。（警告：这些刻画仅在我们当前关于标量域是代数闭的假设下有效。）

设 $A$ 是 $n$ 维向量空间上的任意线性变换，并设 $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ 是其互异的特征值。让我们用 $m_{j}$ 表示 $λ_{j}$ 的代数重数， $j = 1, \dots, p$ ，从而使得 $m_{1} + \dots + m_{p} = n$ 。对于任何多项式方程 $α_{0} + α_{1} λ + \dots + α_{n} λ^{n} = 0,$ 根的乘积是 $(- 1)^{n} α_{0} / α_{n}$ ，根的和是 $- α_{n - 1} / α_{n}$ 。由于特征多项式 $\det (A - λ)$ 的首项系数（ $= α_{n}$ ）是 $(- 1)^{n}$ ，且由于常数项（ $= α_{0}$ ）是 $det (A - 0) = \det A$ ，我们有 $\det A = \prod_{j = 1}^{p} λ_{j}^{m_{j}} .$ 这种对行列式的刻画启发了如下定义 $tr A = \sum_{j = 1}^{p} m_{j} λ_{j} .$ 如此定义的函数被称为 $A$ 的迹。我们在后文中将没有机会使用迹；我们把迹的基本性质的推导留给有兴趣的读者。

练习

练习 1. 求下列矩阵的所有（复）特征值和特征向量。

$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

练习 2. 设 $π$ 是整数集 ${1, \dots, n}$ 的一个置换；如果 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 是 $ℂ^{n}$ 中的一个向量，记 $A x = (ξ_{π (1)}, \dots, ξ_{π (n)})$ 。求 $A$ 的谱。

练习 3. 证明投影的所有特征值均为 $0$ 或 $1$ ，且对合的所有特征值均为 $+ 1$ 或 $- 1$ 。（该结果不依赖于向量空间的有限维性。）

练习 4. 假设 $A$ 是线性变换，且 $p$ 是多项式。我们知道，如果 $λ$ 是 $A$ 的特征值，那么 $p (λ)$ 是 $p (A)$ 的特征值；关于其逆命题可以作何说明？

练习 5. 证明空间 $𝒫_{n}$ （ $n > 1$ ）上的求导算子 $D$ 是不可约的（即，它不能被任何非平凡的互补子空间对 $ℳ$ 和 $𝒩$ 所约化）。

练习 6. 如果 $A$ 是有限维向量空间上的线性变换，且如果 $λ$ 是 $A$ 的特征值，那么 $λ$ 关于 $A$ 的代数重数等于 $λ$ 关于 $B A B^{- 1}$ 的代数重数。（这里 $B$ 是任意可逆变换。）

练习 7. $A B$ 和 $B A$ 是否总是具有相同的谱？

练习 8. 假设 $A$ 和 $B$ 是有限维向量空间上的线性变换。

$tr (A \oplus B) = tr A + tr B$ 。
$tr (A \otimes B) = (tr A) (tr B)$ 。
$A \oplus B$ 的谱是 $A$ 和 $B$ 的谱的并集。
$A \otimes B$ 的谱由所有形如 $α β$ 的标量组成，其中 $α$ 和 $β$ 分别在 $A$ 和 $B$ 的谱中。