基变换

虽然到目前为止我们对线性变换所做的工作可能有些复杂，但在很大程度上它是自动进行的。在引入线性变换这一新概念之后，我们仅仅是让前面的一些概念来启发它们与线性变换之间的联系方式。现在我们开始对线性变换进行正式的研究。作为该理论的第一个应用，我们将解决由基底变换引起的问题。这些问题可以在不提及线性变换的情况下进行阐述，但它们的解决方案最有效地是通过线性变换来给出的。

设 $𝒱$ 为一个 $n$ 维向量空间，并设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 和 $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的两个基底。我们可以提出以下两个问题。

Question I. 如果 $x$ 在 $𝒱$ 中， $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i} = \sum_{i} η_{i} y_{i}$ ，那么它关于 $𝒳$ 的坐标 $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 与它关于 $𝒴$ 的坐标 $(η_{1}, \dots, η_{n})$ 之间有什么关系？

Question II. 如果 $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 是 $n$ 个标量的有序集，那么向量 $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i}$ 与 $y = \sum_{i} ξ_{i} y_{i}$ 之间有什么关系？

这两个问题都可以用线性变换的语言轻松回答。具体来说，我们考虑由 $A x_{i} = y_{i}$ （ $i = 1, \dots, n$ ）定义的线性变换 $A$ 。更明确地： $A (\sum_{i} ξ_{i} x_{i}) = \sum_{i} ξ_{i} y_{i} .$ 设 $(α_{i j})$ 是 $A$ 在基底 $𝒳$ 下的矩阵，即 $y_{j} = A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ 。我们注意到 $A$ 是可逆的，因为 $\sum_{i} ξ_{i} y_{i} = 0$ 意味着 $ξ_{1} = ξ_{2} = \dots = ξ_{n} = 0$ 。

Answer to question I. 由于我们有

Answer to question II.

粗略地说，可逆线性变换 $A$ （或者更确切地说，矩阵 $(α_{i j})$ ）可以被看作是坐标变换（如 (1) 所示），也可以被看作是向量变换（如我们在 (2) 中通常所认为的那样）。

在关于向量空间的经典著作中，人们习惯于将向量视为数值的 $n$ 元组，而不是抽象实体；这就需要引入一些繁琐的术语。我们在这里给出一个简短的词汇表，介绍一些与对偶空间和伴随变换相关的、较为令人困惑的术语和记号。

如果 $𝒱$ 是一个 $n$ 维向量空间，那么向量 $x$ 是由它关于某个首选的、绝对的坐标系的坐标给出的；这些坐标构成一个由 $n$ 个标量组成的有序集。习惯上将这组标量写成一列， $x = [\begin{matrix} ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ⋮ \\ ξ_{n} \end{matrix}] .$ 对偶空间的元素写成行，即。如果我们把 $x$ 看作一个（矩形的） $n$ 乘一矩阵，把看作一个一乘 $n$ 矩阵，那么矩阵乘积就是一个一乘一矩阵，即一个标量。在我们的记号中，这个标量是。将向量视为瘦矩阵的技巧甚至在我们考虑线性变换的完整矩阵时也适用。因此， $(α_{i j})$ 与列向量 $(ξ_{j})$ 的矩阵乘积是一个列向量，其第 $i$ 个元素为 $η_{i} = \sum_{j} α_{i j} ξ_{j}$ 。与其担心对偶基和伴随变换，我们也可以类似地按的顺序计算行向量与矩阵 $(α_{i j})$ 的乘积；其结果就是我们之前用表示的行向量。表达式现在简写为；两个点都表示普通的矩阵乘法。在 $𝒱$ 中的向量 $x$ 被称为协变的，而在中的向量被称为逆变的。由于从这个观点来看，乘积（即）的概念取决于 $x$ 和的坐标，因此提出以下问题就变得很有意义：如果我们根据可逆线性变换 $A$ 改变 $𝒱$ 中的基底，我们必须在中做些什么才能保持乘积不变？用我们的记号来表示：如果，其中 $y = A x$ ，那么与有什么关系？答案是：。为了表达这整套复杂的思想，经典术语说向量 $x$ 是同向变（cogrediently）变化的，而是反向变（contragrediently）变化的。