" is the safest and most literal translation for "Projections" in a literary or scientific context.

对我们的目的而言，直和与线性变换之间的另一个联系尤为重要。

定义 1. 如果 $𝒱$ 是 $ℳ$ 和 $𝒩$ 的直和，使得 $𝒱$ 中的每个 $z$ 都可以唯一地写成 $z = x + y$ 的形式，其中 $x$ 在 $ℳ$ 中， $y$ 在 $𝒩$ 中，那么在 $ℳ$ 上沿着 $𝒩$ 的投影是指由 $E z = x$ 定义的变换 $E$ 。

如果直和是重要的，那么投影也同样重要，因为正如我们将要看到的，它们是研究直和这一几何概念的非常强大的代数工具。读者只需在平面（它们的直和）中画出一对轴（线性流形），就能很容易地理解“投影”这个词的由来。为了使图形看起来足够一般，请不要画垂直的轴！

我们跳过了一个点，其证明足够简单以至于可以跳过，但其存在性应当被承认；必须证明 $E$ 是一个线性变换。我们将这个验证留给读者，并继续寻找投影的特殊性质。

定理 1. 线性变换 $E$ 是在某个子空间上的投影，当且仅当它是幂等的，即 $E^{2} = E$ 。

证明. 如果 $E$ 是在 $ℳ$ 上沿着 $𝒩$ 的投影，且如果 $z = x + y$ ，其中 $x$ 在 $ℳ$ 中， $y$ 在 $𝒩$ 中，那么 $x$ 的分解是 $x + 0$ ，因此 $E^{2} z = E E z = E x = x = E z .$ 反之，假设 $E^{2} = E$ 。令 $𝒩$ 为 $𝒱$ 中满足 $E z = 0$ 的所有向量 $z$ 的集合；令 $ℳ$ 为满足 $E z = z$ 的所有向量 $z$ 的集合。显然， $ℳ$ 和 $𝒩$ 都是子空间；我们将证明 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ 。根据直和一节的定理，我们需要证明 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是不相交的，并且它们共同张成 $𝒱$ 。

如果 $z$ 在 $ℳ$ 中，那么 $E z = z$ ；如果 $z$ 在 $𝒩$ 中，那么 $E z = 0$ ；因此，如果 $z$ 同时在 $ℳ$ 和 $𝒩$ 中，那么 $z = 0$ 。对于任意的 $z$ ，我们有 $z = E z + (1 - E) z .$ 如果我们令 $E z = x$ 且 $(1 - E) z = y$ ，那么 $E x = E^{2} z = E z = x,$ 以及 $E y = E (1 - E) z = E z - E^{2} z = 0,$ 从而 $x$ 在 $ℳ$ 中，且 $y$ 在 $𝒩$ 中。这证明了 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ，并且在 $ℳ$ 上沿着 $𝒩$ 的投影正是 $E$ 。 ◻

作为上述证明的直接推论，我们还得到了以下结果。

定理 2. 如果 $E$ 是在 $ℳ$ 上沿着 $𝒩$ 的投影，那么 $ℳ$ 和 $𝒩$ 分别是方程 $E z = z$ 和 $E z = 0$ 的所有解的集合。

通过这两个定理，我们可以消除投影定义中 $ℳ$ 和 $𝒩$ 所起作用的表面上的不对称性。如果对每个 $z = x + y$ ，我们对应的不是 $x$ 而是 $y$ ，我们也会得到一个幂等的线性变换。这个变换（即 $1 - E$ ）是在 $𝒩$ 上沿着 $ℳ$ 的投影。我们将这些事实总结如下。

定理 3. 线性变换 $E$ 是投影当且仅当 $1 - E$ 是投影；如果 $E$ 是在 $ℳ$ 上沿着 $𝒩$ 的投影，那么 $1 - E$ 是在 $𝒩$ 上沿着 $ℳ$ 的投影。