商变换

假设 $A$ 是向量空间 $𝒱$ 上的一个线性变换，且 $ℳ$ 是 $𝒱$ 在 $A$ 下的一个不变子空间。在这种情况下，有一种自然的方法可以在空间 $𝒱/ℳ$ 上定义一个线性变换（记作 $A/ℳ$ ）；这个“商变换”与 $A$ 的关系，正如商空间与 $𝒱$ 的关系一样。为了方便起见（在本节中），我们将用更紧凑的符号 ${𝒱}^{-}$ 来表示 $𝒱/ℳ$ ，并对所涉及的向量和线性变换使用相关的符号。因此，例如，如果 $x$ 是 $𝒱$ 中的任意向量，我们将用 $x^{-}$ 来表示陪集 $x+ℳ$ ；像 $x^{-}$ 这样的对象是 ${𝒱}^{-}$ 的典型元素。

为了定义商变换 $A/ℳ$ （也可以记作 $A^{-}$ ），对 $𝒱$ 中的每个向量 $x$ ，写下 $$A^{-}{x}^{-}=(Ax{)}^{-}$$ 。换句话说，要寻找陪集 $x+ℳ$ 在 $A/ℳ$ 下的像，首先寻找向量 $x$ 在 $A$ 下的像，然后构造由该变换后的向量所确定的 $ℳ$ 的陪集。这个定义必须有无歧义性论证的支持；我们必须确保，如果两个向量确定了相同的陪集，那么它们在 $A$ 下的像也是如此。这里的关键事实是 $ℳ$ 的不变性。事实上，如果 $x+ℳ=y+ℳ$ ，那么 $x-y$ 在 $ℳ$ 中，从而（由不变性） $Ax-Ay$ 在 $ℳ$ 中，因此 $Ax+ℳ=Ay+ℳ$ 。

如果 $ℳ$ 不仅在 $A$ 下是不变的，而且与一个适当的子空间 $𝒩$ 一起归约了 $A$ ，会发生什么？如果发生这种情况，那么 $A$ 就是分别定义在 $𝒱$ 的子空间 $ℳ$ 和 $𝒩$ 上的两个线性变换的直和，比如记作 $A=B\oplus C$ ；问题是， $A^{-}$ 与 $C$ 之间有什么关系？这两个变换都可以被看作是与 $A$ 互补的；变换 $B$ 描述了 $A$ 在 $ℳ$ 上的作用，而 $A^{-}$ 和 $C$ 则以不同的方式描述了 $A$ 在其他地方的作用。

设 $T$ 是将 $𝒩$ 中的每个向量 $x$ 对应到陪集 $x^{-}$ （ $=x+ℳ$ ）的对应关系。我们已经知道 $T$ 是 $𝒩$ 与 $𝒱/ℳ$ 之间的一个同构（参见 章节：商空间的维数 ，定理 1）；我们现在将证明，该同构将变换 $C$ 转移为变换 $A^{-}$ 。如果 $Cx=y$ （这里，当然， $x$ 在 $𝒩$ 中），那么 $$A^{-}{x}^{-}=(Ax{)}^{-}=(Cx{)}^{-}=y^{-};$$ 由此可得 $$TCx=Ty=A^{-}Tx.$$ 这意味着 $TC=A^{-}T$ ，正如所承诺的那样。粗略地说（参见 章节：相似性 ），我们可以说 $A^{-}$ 变换 ${𝒱}^{-}$ 的方式与 $C$ 变换 $𝒩$ 的方式相同。换句话说，线性变换 $A^{-}$ 和 $C$ 在抽象上是相同的（同构的）。这一事实在商空间概念的应用中具有重大意义。