可约性

不变性概念的一个特别重要的子情况是可约性。如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是两个子空间，它们在 $A$ 下都是不变的，且 $𝒱$ 是它们的直和，那么 $A$ 被这一对子空间 $(ℳ, 𝒩)$ 约化（分解）。不变性与可约性之间的区别在于，在前一种情况下，在所有在 $A$ 下不变的子空间集合中，除了 $𝒪$ 和 $𝒱$ 之外，我们可能无法挑出任何两个具有“以 $𝒱$ 为它们的直和”这一性质的子空间。或者换句话说，如果 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，固然有很多方法可以找到一个 $𝒩$ 使得 $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ，但可能发生的情况是，没有任何这样的 $𝒩$ 在 $A$ 下是不变的。

上述过程也可以反过来。设 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是任意两个向量空间，并设 $A$ 和 $B$ 是任意两个线性变换（分别作用在 $ℳ$ 和 $𝒩$ 上）。设 $𝒱$ 为直和 $ℳ \oplus 𝒩$ ；我们可以在 $𝒱$ 上定义一个线性变换 $C$ ，称为 $A$ 和 $B$ 的直和，写作 $C z = C (x, y) = (A x, B y) .$ 我们将省略关于变换直和的详细讨论；我们仅提及结果。它们的证明很容易。如果 $(ℳ, 𝒩)$ 约化 $C$ ，并且如果我们用 $A$ 表示仅在 $ℳ$ 上考虑的线性变换 $C$ ，用 $B$ 表示仅在 $𝒩$ 上考虑的线性变换 $C$ ，那么 $C$ 是 $A$ 和 $B$ 的直和。通过适当选择基（即，在 $ℳ$ 中选择 $x_{1}, \dots, x_{m}$ ，在 $𝒩$ 中选择 $x_{m + 1}, \dots, x_{n}$ ），我们可以将 $A$ 和 $B$ 的直和的矩阵写成前一节所示的形式，其中 $[A_{1}] = [A]$ ， $[B_{0}] = [0]$ ，以及 $[A_{2}] = [B]$ 。如果 $p$ 是任意多项式，且如果我们写出，，那么和的直和将是 $p (C)$ 。

练习

练习 1. 给出一个在有限维向量空间 $𝒱$ 上的线性变换 $A$ 的例子，使得 $𝒪$ 和 $𝒱$ 是仅有的在 $A$ 下不变的子空间。

练习 2. 设 $D$ 是 $𝒫_{n}$ 上的微分算子。如果 $m \leq n$ ，那么子空间 $𝒫_{m}$ 在 $D$ 下是不变的。 $𝒫_{m}$ 上的 $D$ 是可逆的吗？在 $𝒫_{n}$ 中是否存在 $𝒫_{m}$ 的一个补空间，使得它与 $𝒫_{m}$ 一起约化 $D$ ？

练习 3. 证明由两个子空间张成的子空间，如果这两个子空间在某个线性变换 $A$ 下都是不变的，那么该张成的子空间本身在 $A$ 下也是不变的。