变换矩阵

现在有一些常规性的工作要做，其中大部分我们将留给读者去想象。问题是这样的：在一个固定的坐标系 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 中，已知 $A$ 和 $B$ 的矩阵，我们如何找到 $α A + β B$ 、 $A B$ 、 $0$ 、 $1$ 等的矩阵？

设 $[A] = (α_{i j})$ ， $[B] = (β_{i j})$ ， $C = α A + β B$ ， $[C] = (γ_{i j})$ ；我们断言 $γ_{i j} = α α_{i j} + β β_{i j};$ 同样，如果 $[0] = (o_{i j})$ 且 $[1] = (e_{i j})$ ，那么 $o_{i j} = 0$ 且

$e_{i j} = δ_{i j} （= 克罗内克 delta）。$

一个更复杂的规则如下：如果 $C = A B$ ， $[C] = (γ_{i j})$ ，那么 $γ_{i j} = \sum_{k} α_{i k} β_{k j} .$ 为了证明这一点，我们使用与变换相关联的矩阵的定义，并进行如下推导：

变换与矩阵之间的关系，与向量及其坐标之间的关系完全相同，并且章节：同构中同构定理的类似结论在最完美的意义上也是成立的。我们将使这些陈述更加精确。

借助固定的基 $𝒳$ ，我们使每个线性变换 $A$ 都对应一个矩阵 $[A]$ ；这种对应关系由关系式 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ 来描述。我们现在断言，这种对应是一一对应的（也就是说，两个不同变换的矩阵是不同的），并且由 $n^{2}$ 个标量组成的每个阵列 $(α_{i j})$ 都是某个变换的矩阵。为了证明这一点，我们首先注意到，已知 $A$ 的矩阵可以完全确定 $A$ （也就是说，对于每个 $x$ ， $A x$ 由此被唯一确定），如下所示：如果 $x = \sum_{j} ξ_{j} x_{j}$ ，那么（换句话说，如果 $y = A x = \sum_{i} η_{i} x_{i}$ ，那么 $η_{i} = \sum_{j} α_{i j} ξ_{j} .$ 将此与章节：矩阵中关于指标反常性的评论进行对比。）其次，没有规则禁止反向读取关系式 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ 。换句话说，如果 $(α_{i j})$ 是任意阵列，我们可以使用这个关系来定义一个线性变换 $A$ ；显然， $A$ 的矩阵将恰好是 $(α_{i j})$ 。（然而，我们再次强调一个基本事实：变换与矩阵之间的这种一一对应关系是借助特定的坐标系建立起来的，并且，当我们从一个坐标系过渡到另一个坐标系时，同一个线性变换可能对应多个矩阵，而一个矩阵也可能是许多线性变换的对应物。）以下陈述总结了前述讨论的核心部分。

定理 1。在所有矩阵 $(α_{i j})$ 、 $(β_{i j})$ 等（不考虑与线性变换的关系），其中 $i, j = 1, \dots, n$ 的集合中，我们通过以下方式定义和、标量乘法、乘积、 $(o_{i j})$ 以及 $(e_{i j})$ ：那么，在 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 的任意坐标系 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 下建立的， $𝒱$ 上的所有线性变换 $A$ 与所有矩阵 $(α_{i j})$ 之间由 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ 描述的对应关系是一个同构；换句话说，它是一个保持和、标量乘法、乘积、 $0$ 和 $1$ 的一一对应关系。

我们刻意避免了讨论 $A^{- 1}$ 的矩阵。虽然可以用 $[A]$ 的元素 $α_{i j}$ 来给出 $[A^{- 1}]$ 的表达式，但该表达式并不简单，而且幸运的是，对我们来说也没什么用处。

练习

练习 1。设 $A$ 是 $𝒫_{n}$ 上的线性变换，定义为 $(A x) (t) = x (t + 1)$ ，并设 ${x_{0}, \dots, x_{n - 1}}$ 是 $𝒫_{n}$ 的基，定义为 $x_{j} (t) = t^{j}$ ， $j = 0, \dots, n - 1$ 。求 $A$ 关于该基的矩阵。

练习 2。求将 $ℂ$ 视为实向量空间时，共轭运算关于基 ${1, i}$ （其中 $i = \sqrt{- 1}$ ）的矩阵。

练习 3。

设 $π$ 是整数 $1, \dots, n$ 的一个置换；如果 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 是 $ℂ^{n}$ 中的一个向量，设 $A x = (ξ_{π (1)}, \dots, ξ_{π (n)})$ 。如果 $x_{i} = (δ_{i 1}, \dots, δ_{i n})$ ，求 $A$ 关于 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 的矩阵。
求所有与 $A$ 的矩阵可交换的矩阵。

练习 4。考虑由所有实二阶方阵组成的向量空间，并设 $A$ 是该空间上的线性变换，它将每个矩阵 $X$ 映射为 $P X$ ，其中 $P = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .$ 求 $A$ 关于由以下矩阵组成的基的矩阵： $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .$

练习 5。考虑由向量空间 $𝒱$ 上的所有线性变换组成的向量空间，并设 $A$ 是（左）乘法变换，它将 $𝒱$ 上的每个变换 $X$ 映射为 $P X$ ，其中 $P$ 是 $𝒱$ 上某个给定的变换。在关于 $P$ 的什么条件下， $A$ 是可逆的？

练习 6。证明如果 $I$ 、 $J$ 和 $K$ 分别是复矩阵 $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}]$ （其中 $i = \sqrt{- 1}$ ），那么

练习 7。

证明如果 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是二维向量空间上的线性变换，那么 $(A B - B A)^{2}$ 与 $C$ 可交换。
(a) 的结论对于更高维的空间是否成立？

练习 8。设 $A$ 是 $ℂ^{2}$ 上的线性变换，定义为 $A (ξ_{1}, ξ_{2}) = (ξ_{1} + ξ_{2}, ξ_{2})$ 。证明如果一个线性变换 $B$ 与 $A$ 可交换，那么存在一个多项式 $p$ 使得 $B = p (A)$ 。

练习 9。对于以下哪些多项式 $p$ 和矩阵 $A$ ，等式 $p (A) = 0$ 成立？

$p (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1$ ， $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。
$p (t) = t^{2} - 3 t$ ， $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ 。
$p (t) = t^{3} + t^{2} + t + 1$ ， $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$ 。
$p (t) = t^{3} - 2 t$ ， $A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ 。

练习 10。证明如果 $A$ 和 $B$ 分别是复矩阵 $[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] 和 [\begin{matrix} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ （其中 $i = \sqrt{- 1}$ ），并且如果 $C = A B - i B A$ ，那么 $C^{2} + C^{2} + C = 0$ 。

练习 11。如果 $A$ 和 $B$ 是向量空间上的线性变换，且 $A B = 0$ ，是否可以推出 $B A = 0$ ？

练习 12。当计算矩阵所依据的基的元素自身进行置换时，有限维向量空间上的线性变换的矩阵会发生什么变化？

练习 13。

假设 $𝒱$ 是一个以 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 为基的有限维向量空间。假设 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 是两两不同的标量。如果 $A$ 是一个线性变换，满足 $A x_{j} = α_{j} x_{j}$ ， $j = 1, \dots, n$ ，并且如果 $B$ 是一个与 $A$ 可交换的线性变换，那么存在标量 $β_{1}, \dots, β_{n}$ 使得 $B x_{j} = β_{j} x_{j}$ 。
证明如果 $B$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 上的线性变换，且 $B$ 与 $𝒱$ 上的每个线性变换都可交换，那么 $B$ 是一个标量变换（也就是说，存在一个标量 $β$ 使得对于 $𝒱$ 中的所有 $x$ ，都有 $B x = β x$ ）。

练习 14。如果 ${x_{1}, \dots, x_{k}}$ 和 ${y_{1}, \dots, y_{k}}$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 中的线性无关向量组，那么在 $𝒱$ 上存在一个可逆线性变换 $A$ 使得 $A x_{j} = y_{j}$ ， $j = 1, \dots, k$ 。

练习 15。如果矩阵 $[A] = (α_{i j})$ 满足 $α_{i i} = 0$ ， $i = 1, \dots, n$ ，那么存在矩阵 $[B] = (β_{i j})$ 和 $[C] = (γ_{i j})$ 使得 $[A] = [B] [C] - [C] [B]$ 。（提示：尝试 $β_{i j} = β_{i} δ_{i j}$ 。）

练习 16。判定以下哪些矩阵是可逆的，并求出可逆矩阵的逆矩阵。

$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ 。

练习 17。对于哪些 $α$ 的值，以下矩阵是可逆的？在可能的情况下求出它们的逆矩阵。

$[\begin{matrix} α & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & α \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & α \\ 1 & α \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & α \end{matrix}]$ 。

练习 18。对于哪些 $α$ 的值，以下矩阵是可逆的？在可能的情况下求出它们的逆矩阵。

$[\begin{matrix} 1 & α & 0 \\ α & 1 & α \\ 0 & α & 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} α & 1 & 0 \\ 1 & α & 1 \\ 0 & 1 & α \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 & α \\ 1 & α & 0 \\ α & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & α \\ 1 & α & 1 \end{matrix}]$ 。

练习 19。

将矩阵理论推广到不同向量空间之间的线性变换是很容易的。假设 $𝒰$ 和 $𝒱$ 是相同域上的向量空间，设 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 和 ${y_{1}, \dots, y_{m}}$ 分别是 $𝒰$ 和 $𝒱$ 的基，并设 $A$ 是从 $𝒰$ 到 $𝒱$ 的线性变换。 $A$ 的矩阵，根据定义，是由 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} y_{i} .$ 定义的 $m$ 行 $n$ 列的矩形标量阵列。定义矩形矩阵的加法和乘法，以便尽可能多地推广章节：变换的矩阵中的结论。（注意，只有当 $n_{1} = m_{2}$ 时，一个 $m_{1}$ 行 $n_{1}$ 列的矩阵与一个 $m_{2}$ 行 $n_{2}$ 列的矩阵按该顺序的乘积才有定义。）
假设 $A$ 和 $B$ 是可相乘的矩阵。将 $A$ 分块为四个矩形子块（左上、右上、左下、右下），然后对 $B$ 进行类似的分块，使得 $A$ 左上部分的列数与 $B$ 左上部分的行数相同。如果用显而易见的简写表示，这些分块表示为 $A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix}],$ 那么 $A B = [\begin{matrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} \end{matrix}]$
利用子空间和补空间，用线性变换（而不是矩阵）来表示 (b) 的结果。
将 (b) 和 (c) 推广到更多分块（而不是四个）的情形。