线性组合

每当 x = ∑ i α i x i 时，我们称 x 是 { x i } 的 线性组合 ；我们将不再作进一步解释地直接使用这一术语的所有简单语法含义。因此，若 x 是 { x i } 的线性组合，我们将说 x 线性相关于 { x i } ；我们将留给读者去证明：如果 { x i } 是线性无关的，那么 x 是 { x i } 的线性组合的充分必要条件是，通过将 x 添加到 { x i } 中所得到的扩大集合是线性相关的。注意，根据空和的定义，原点是空向量集的线性组合；此外，它是唯一具有该性质的向量。

以下定理是关于线性相关性的基本结果。

定理 1. 非零向量集 x 1 , … , x n 线性相关，当且仅当某个 x k （ 2 ≤ k ≤ n ）是其前面向量的线性组合。

证明. 设向量 x 1 , … , x n 线性相关，并令 k 为 2 与 n 之间使得 x 1 , … , x k 线性相关的第一个整数。（在最坏的情况下，我们的假设保证了 k = n 是可行的。）那么 α 1 x 1 + ⋯ + α k x k = 0 对于一组适当的（不全为零的） α 成立；此外，无论 α 取何值，我们都不可能有 α k = 0 ，因为那样的话，我们就会在 x 1 , … , x k − 1 之间得到一个线性相关关系，这与 k 的定义相矛盾。因此 x k = − α 1 α k x 1 + ⋯ + − α k − 1 α k x k − 1 证毕。这证明了我们条件的必要性；充分性是显而易见的，因为正如我们之前所指出的，任何包含线性相关集的集合本身也是线性相关的。 ◻