直和的维数

证明. 我们断言，如果 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 是 $𝒰$ 中的一组基，且如果 $\{y_1,\dots ,y_m\}$ 是 $𝒱$ 中的一组基，那么集合 $\{x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m\}$ （或者更确切地说，集合 $\{⟨x_1,0⟩,\dots ,⟨x_n,0⟩,⟨0,y_1⟩,\dots ,⟨0,y_m⟩\}$ ）是 $𝒲$ 中的一组基。证明这一断言最简单的方法是使用前一节定理中的蕴含关系 (1) $⟹$ (3)。因为 $𝒲$ 中的每个 $z$ 都可以写成 $z=x+y$ 的形式，其中 $x$ 是 $x_1,\dots ,x_n$ 的线性组合，而 $y$ 是 $y_1,\dots ,y_m$ 的线性组合，因此我们的集合确实张成了 $𝒲$ 。为了说明该集合也是线性无关的，假设 $${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n+{\beta }_1{y}_1+\cdots +{\beta }_m{y}_m=0.$$ $0$ 表示为 $x+y$ 形式的唯一性意味着 $${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n={\beta }_1{y}_1+\cdots +{\beta }_m{y}_m=0,$$ 从而，各个 $x$ 和各个 $y$ 的线性无关性意味着 $${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_n={\beta }_1=\cdots ={\beta }_m=0.$$ ◻

证明. 设 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 是 $𝒰$ 中的任意一组基；根据 基一节 的定理，我们可以在 $𝒲$ 中找到一个向量集合 $\{y_1,\dots ,y_m\}$ ，使得 $\{x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m\}$ 是 $𝒲$ 中的一组基。设 $𝒱$ 是由 $y_1,\dots ,y_m$ 张成的子空间；我们省略对 $𝒲=𝒰\oplus 𝒱$ 的验证。 ◻