直和的对偶

在接下来的大部分内容中，我们将把直和的概念视为对向量空间 𝒱 的子空间所定义的；这避免了与 直和一节 的识别约定相关的麻烦，而且顺便提一句，事实证明这对于我们后面的工作是更有用的概念。目前，我们通过观察连接对偶空间、零化子和直和的简单关系，来结束我们对直和的研究。为了强调我们目前对直和的看法，我们回到我们早期记号中的字母。

定理 1。如果 ℳ 和 𝒩 是向量空间 𝒱 的子空间，并且如果 𝒱 = ℳ ⊕ 𝒩 ，那么 同构于 𝒩 0 ， 同构于 ℳ 0 ，且 。

证明。为了简化记号，在整个证明过程中，我们将分别用 x 、 和 x 0 表示 ℳ 、 和 ℳ 0 中的元素，类似地，我们保留字母 y 表示 𝒩 ， z 表示 𝒱 。（这种记号并不意味着，比方说， ℳ 中的向量 x 与 中的向量 之间有任何特定的关系。）

如果 同时属于 ℳ 0 和 𝒩 0 ，即如果对所有的 x 和 y 都有 ，那么对所有的 z 都有 ；这意味着 ℳ 0 和 𝒩 0 是不相交的。此外，如果 是 中的任意向量，且如果 z = x + y ，我们令 和 。很容易看出，这样定义的函数 x 0 和 y 0 是 𝒱 上的线性泛函（即 的元素），且分别属于 ℳ 0 和 𝒩 0 ；因为 ，所以 确实是 ℳ 0 和 𝒩 0 的直和。

为了建立所断言的同构，我们使每个 x 0 对应于 中的一个由 定义的 。我们把验证对应关系 是线性和一一对应的，从而也是 ℳ 0 与 之间的同构这一常规步骤留给读者；关于 𝒩 0 和 的相应结果可以通过交换 x 和 y 的对称性得出。（注意，对于有限维向量空间，比方说， ℳ 0 和 之间同构的仅仅存在性从维数论证来看是平凡的；事实上， ℳ 0 和 的维数都等于 𝒩 的维数。） ◻

关于我们对直和理论的整个阐述，我们指出，数字“二”并没有什么神奇之处；我们本可以定义任意有限个向量空间的直和，并且本可以证明过去三节中所有定理的显而易见的类似结论，只是记号会变得更加复杂。我们在此发出预告，我们稍后将使用这一评注，并将它所暗示的定理视同我们已经证明过的一样来对待。

练习

练习 1。假设 x 、 y 、 u 和 v 是 ℂ 4 中的向量；设 ℳ 和 𝒩 分别是由 { x , y } 和 { u , v } 张成的 ℂ 4 的子空间。在下列哪些情况下， ℂ 4 = ℳ ⊕ 𝒩 成立？

  1. x = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) ， y = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ， u = ( 0 , 1 , 0 , 1 ) ， v = ( 0 , 0 , 1 , 1 ) 。
  2. x = ( − 1 , 1 , 1 , 0 ) ， y = ( 0 , 1 , − 1 , 1 ) ， u = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ， v = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) 。
  3. x = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) ， y = ( 0 , 1 , 1 , 0 ) ， u = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ， v = ( 0 , 1 , 0 , 1 ) 。

练习 2。如果 ℳ 是由 ℂ 2 n 中所有满足 ξ 1 = ⋯ = ξ n = 0 的向量 ( ξ 1 , … , ξ n , ξ n + 1 , … , ξ 2 n ) 组成的子空间，且如果 𝒩 是所有满足 ξ j = ξ n + j （ j = 1 , … , n ）的向量组成的子空间，那么 ℂ 2 n = ℳ ⊕ 𝒩 。

练习 3。构造一个向量空间 𝒱 的三个子空间 ℳ 、 𝒩 1 、 𝒩 2 ，使得 ℳ ⊕ 𝒩 1 = ℳ ⊕ 𝒩 2 = 𝒱 但 𝒩 1 ≠ 𝒩 2 。（注意，这意味着直和没有消去律。）对应于这种情况的几何图像是什么？

练习 4。 

  1. 如果 𝒰 、 𝒱 和 𝒲 是向量空间，那么 𝒰 ⊕ ( 𝒱 ⊕ 𝒲 ) 与 ( 𝒰 ⊕ 𝒱 ) ⊕ 𝒲 之间有什么关系（即，在什么意义上直和的构成是一个结合运算）？
  2. 在什么意义上直和的构成是可交换的？

练习 5。 

  1. 一个向量空间 𝒱 的三个子空间 ℒ 、 ℳ 和 𝒩 被称为独立的，如果每一个都与另外两个的和不相交。证明 𝒱 = ℒ ⊕ ( ℳ ⊕ 𝒩 ) （以及 𝒱 = ( ℒ ⊕ ℳ ) ⊕ 𝒩 ）的充分必要条件是 ℒ 、 ℳ 和 𝒩 是独立的，且 𝒱 = ℒ + ℳ + 𝒩 。（子空间 ℒ + ℳ + 𝒩 是所有形如 x + y + z 的向量的集合，其中 x 在 ℒ 中， y 在 ℳ 中，且 z 在 𝒩 中。）
  2. 给出一个向量空间 𝒱 的三个子空间的例子，使得这三个子空间之和为 𝒱 ，且这三个子空间中任意两个都不相交，但这三个子空间并不是独立的。
  3. 假设 x 、 y 和 z 是一个向量空间的元素，且 ℒ 、 ℳ 和 𝒩 分别是由 x 、 y 和 z 张成的子空间。证明向量 x 、 y 和 z 线性无关当且仅当子空间 ℒ 、 ℳ 和 𝒩 是独立的。
  4. 证明三个有限维子空间是独立的当且仅当它们的维数之和等于它们和的维数。
  5. 将结果 (a)-(d) 从三个子空间推广到任意有限多个。