括号

在更详细地研究线性泛函和对偶空间之前，我们希望引入一种记法，这种记法乍看之下可能有些奇怪，但稍后会使许多情况变得清晰。通常我们用单个字母（如 $y$ ）来表示线性泛函。然而，有时有必要完整地使用函数记法，并以某种方式表明，如果 $y$ 是 $𝒱$ 上的线性泛函，且如果 $x$ 是 $𝒱$ 中的向量，那么 $y (x)$ 是一个特定的标量。根据我们在此建议采用的记法，我们不写 $y$ 后面紧跟括号中的 $x$ ，而是写成用方括号括起来并用逗号隔开的 $x$ 和 $y$ 。由于这种记法的不同寻常之处，我们将对其进行一些进一步的冗长解释。

正如我们刚才指出的， $[x, y]$ 是普通函数符号 $y (x)$ 的替代；这两个符号都表示我们在向量 $x$ 处取线性函数 $y$ 的值时所得到的标量。让我们看一个类似的情况（不过涉及的是非线性函数）。设 $y$ 是实变量的实函数，对每个实数 $x$ 定义为 $y (x) = x^{2}$ 。记法 $[x, y]$ 是写下实际执行操作步骤的一种符号化方式；它对应于句子 [取一个数，然后将其平方]。

使用这种记法，我们可以总结为：对每一个向量空间 $𝒱$ ，我们使其对应由 $𝒱$ 上所有线性泛函组成的对偶空间；对每一对 $x$ 和 $y$ ，其中 $x$ 是 $𝒱$ 中的向量，而 $y$ 是中的线性泛函，我们使其对应定义为 $y$ 在 $x$ 处的值的标量 $[x, y]$ 。用符号 $[x, y]$ 表示，线性泛函的定义属性为

而线性泛函的线性运算定义为

这两个关系结合起来可以表述为： $[x, y]$ 是向量空间 $𝒱$ 中的向量 $x$ 与中的向量 $y$ 的双线性泛函。

练习

练习 1. 将复数集 $ℂ$ 视为实向量空间（如章节：示例，(9) 所示）。假设对于 $ℂ$ 中的每个 $x = ξ_{1} + i ξ_{2}$ （其中 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 是实数，且 $i = \sqrt{- 1}$ ），函数 $y$ 定义为

$y (x) = ξ_{1}$
$y (x) = ξ_{2}$ ,
$y (x) = ξ_{1}^{2}$ ,
$y (x) = ξ_{1} - i ξ_{2}$ ,
$y (x) = \sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}$ 。（附加在正数上的平方根符号总是表示该正数的算术平方根。）

在这些情况中，哪几种情况下的 $y$ 是线性泛函？

练习 2. 假设对于 $ℂ^{3}$ 中的每个 $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})$ ，函数 $y$ 定义为

$y (x) = ξ_{1} + ξ_{2}$ ,
$y (x) = ξ_{1} - ξ_{3}^{2}$ ,
$y (x) = ξ_{1} + 1$ ,
$y (x) = ξ_{1} - 2 ξ_{2} + 3 ξ_{2}$ 。

在这些情况中，哪几种情况下的 $y$ 是线性泛函？

练习 3. 假设对于 $𝒫$ 中的每个 $x$ ，函数 $y$ 定义为

$y (x) = \int_{- 1}^{+ 2} x (t) d t$ ,
$y (x) = \int_{0}^{2} (x (t))^{2} d t$ ,
$y (x) = \int_{0}^{1} t^{2} x (t) d t$ ,
$y (x) = \int_{0}^{1} x (t^{2}) d t$ ,
$y (x) = \frac{d x}{d t}$ ,
$y (x) = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} |_{t = 1}$ 。

在这些情况中，哪几种情况下的 $y$ 是线性泛函？

练习 4. 如果 $(α_{0}, α_{1}, α_{2}, \dots)$ 是复数的任意序列，且如果 $x$ 是 $𝒫$ 的一个元素， $x (t) = \sum_{i = 0}^{n} ξ_{i} t^{i}$ ，记 $y (x) = \sum_{i = 0}^{n} ξ_{i} α_{i}$ 。证明 $y$ 是的一个元素，并且通过适当选择 $α$ ，可以以此方式得到的每个元素。

练习 5. 如果 $y$ 是向量空间 $𝒱$ 上的非零线性泛函，且如果 $α$ 是任意标量，是否必然存在 $𝒱$ 中的向量 $x$ 使得 $[x, y] = α$ ？

练习 6. 证明：如果 $y$ 和 $z$ 是（同一向量空间上的）线性泛函，使得只要 $[x, z] = 0$ 就有 $[x, y] = 0$ ，那么存在一个标量 $α$ 使得 $y = α z$ 。（提示：如果 $[x_{0}, z] \neq 0$ ，记 $α = [x_{0}, y] / [x_{0}, z]$ 。）