张量积

如果 𝒰 和 𝒱 是（同一域上的）向量空间，那么它们的直和 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 也是一个向量空间；我们计划研究 𝒲 上的某些函数。（就目前的目的而言，通过有序对给出的 𝒰 ⊕ 𝒱 的原始定义是比较方便的。）这样一个函数（设为 w ）在 𝒲 的元素 ⟨ x , y ⟩ 处的值将表示为 w ( x , y ) 。 𝒲 上的线性函数的研究对我们来说已经没有太大兴趣了；关于它们的主要事实已在 章节：直和的对偶 中讨论过。我们现在想要考虑的函数是双线性的；根据定义，它们是 𝒲 上的标量值函数，其性质是：对于任一参数的每个固定值，它们都线性地依赖于另一个参数。更确切地说， 𝒲 上的标量值函数 w 是一个双线性型（或双线性泛函），如果 w ( α 1 x 1 + α 2 x 2 , y ) = α 1 w ( x 1 , y ) + α 2 w ( x 2 , y ) 且 w ( x , α 1 y 1 + α 2 y 2 ) = α 1 w ( x , y 1 ) + α 2 w ( x , y 2 ) , 在所涉及的向量和标量中恒成立。

在一种特殊情况下，我们已经遇到过双线性泛函。也就是说，如果 𝒱 是 𝒰 的对偶空间，即 ，并且如果我们写成 w ( x , y ) = [ x , y ] （参见 章节：括号 ），那么 w 是 上的双线性泛函。对于更一般情况下的一个例子，设 𝒰 和 𝒱 是任意向量空间（一如既往，在相同的域上），设 u 和 v 分别是 和 中的元素，并对 𝒰 中的所有 x 和 𝒱 中的所有 y 写入 w ( x , y ) = u ( x ) v ( y ) 。通过在 中选择有限个元素（设为 u 1 , … , u k ），在 中选择相同数量的有限个元素（设为 v 1 , … , v k ），并写入 w ( x , y ) = u 1 ( x ) v 1 ( y ) + ⋯ + u k ( x ) v k ( y ) ，可以得到一个更一般的例子。使用“泛函”还是“型”这两个词，在某种程度上取决于上下文，而在更大程度上取决于使用者的喜好。在本书中，我们通常将“泛函”与“线性”连用，而将“型”与“双线性”（及其高维推广）连用。

如果 w 1 和 w 2 是 𝒲 上的双线性型，且 α 1 和 α 2 是标量，我们用 w 表示由 w ( x , y ) = α 1 w 1 ( x , y ) + α 2 w 2 ( x , y ) . 定义在 𝒲 上的函数。很容易看出 w 是一个双线性型；我们将其记为 α 1 w 1 + α 2 w 2 。通过这样定义线性运算， 𝒲 上所有双线性型的集合构成一个向量空间。本节余下部分的主要目的是确定（在有限维情况下）该空间的维度如何取决于 𝒰 和 𝒱 的维度。

定理 1。如果 𝒰 是一个具有基 { x 1 , … , x n } 的 n 维向量空间，如果 𝒱 是一个具有基 { y 1 , … , y m } 的 m 维向量空间，并且如果 { α i j } 是任意一组 n m 个标量（ i = 1 , … , n ； j = 1 , … , m ），那么在 𝒰 ⊕ 𝒱 上存在唯一的一个双线性型 w ，使得对于所有的 i 和 j ，都有 w ( x i , y j ) = α i j 。

证明。如果 x = ∑ i ξ i x i ， y = ∑ j η j y j ，且 w 是 𝒰 ⊕ 𝒱 上的双线性型，使得 w ( x i , y j ) = α i j ，那么 w ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j w ( x i , y j ) = ∑ i ∑ j ξ i η j α i j . 从这个等式中， w 的唯一性是显而易见的；通过从右到左阅读同一个等式，即用它来定义 w ，可以证明合适的 w 的存在性。（将此结果与 章节：对偶基 ，定理 1 进行比较。） ◻

定理 2。如果 𝒰 是一个具有基 { x 1 , … , x n } 的 n 维向量空间，且 𝒱 是一个具有基 { y 1 , … , y m } 的 m 维向量空间，那么在 𝒰 ⊕ 𝒱 上所有双线性型的向量空间中，存在唯一确定的基 { w p q } （ p = 1 , … , n ； q = 1 , … , m ），其性质为 w p q ( x i , y j ) = δ i p δ j q 。因此， 𝒰 ⊕ 𝒱 上双线性型空间的维度是 𝒰 和 𝒱 维度的乘积。

证明。利用定理 1，我们通过给定的条件 w p q ( x i , y j ) = δ i p δ j q 确定 w p q （对于每个固定的 p 和 q ）。如此确定的双线性型是线性无关的，因为 ∑ p ∑ q α p q w p q = 0 意味着 0 = ∑ p ∑ q α p q δ i p δ j q = α i j . 此外，如果 w 是 𝒲 的任意元素，且 w ( x i , y j ) = α i j ，那么 w = ∑ p ∑ q α p q w p q 。事实上，如果 x = ∑ i ξ i x i 且 y = ∑ j η j y j ，那么 w p q ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j δ i p δ j q = ξ p η q , 从而有 w ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j α i j = ∑ p ∑ q α p q w p q ( x , y ) . 由此可知， w p q 在双线性型空间中构成一组基；这就完成了定理的证明。（将此结果与 章节：对偶基 ，定理 2 进行比较。） ◻

练习

练习 1。 

  1. 如果 w 是 ℝ n ⊕ ℝ n 上的双线性型，那么存在标量 α i j （ i , j = 1 , … , n ），使得如果 x = ( ξ 1 , … , ξ n ) 且 y = ( η 1 , … , η n ) ，那么 w ( x , y ) = ∑ i ∑ j α i j ξ i η j 。标量 α i j 由 w 唯一确定。
  2. 如果 z 是 ℝ n ⊕ ℝ n 上所有双线性型空间上的线性泛函，那么存在标量 β i j ，使得（采用 (a) 中的记号）对于每个 w ，都有 z ( w ) = ∑ i ∑ j α i j β i j 。标量 β i j 由 z 唯一确定。

练习 2。如果 𝒰 ⊕ 𝒱 上的双线性型 w 作为其两个参数之一的函数，在另一个参数取某个非零值时恒为零，则称它是退化的；否则称它是非退化的。

  1. 给出 ℂ 2 ⊕ ℂ 2 上一个退化（且不恒为零）的双线性型的例子。
  2. 给出 ℂ 2 ⊕ ℂ 2 上一个非退化的双线性型的例子。

练习 3。如果 w 是 𝒰 ⊕ 𝒱 上的双线性型，如果 y 0 在 𝒱 中，并且如果在 𝒰 上定义一个函数 y 为 y ( x ) = w ( x , y 0 ) ，那么 y 是 𝒰 上的线性泛函。如果 w 是非退化的，那么 𝒰 上的每个线性泛函是否都可以通过这种方式（通过适当选择 y 0 ）获得？

练习 4。假设对于 𝒫 n 中的每个 x 和 y ，函数 w 定义为

  1. w ( x , y ) = ∫ 0 1 x ( t ) y ( t ) d t ，
  2. w ( x , y ) = x ( 1 ) + y ( 1 ) ，
  3. w ( x , y ) = x ( 1 ) ⋅ y ( 1 ) ，
  4. w ( x , y ) = x ( 1 ) ( d y d t ) t = 1 。

在这些情况中，哪些情况下 w 是 𝒫 n ⊕ 𝒫 n 上的双线性型？在哪些情况下它是非退化的？

练习 5。是否存在一个向量空间 𝒱 和 𝒱 ⊕ 𝒱 上的双线性型 w ，使得 w 不恒为零，但对于 𝒱 中的每个 x ，都有 w ( x , x ) = 0 ？

练习 6。 

  1. 如果对于所有的 x 和 y ，都有 w ( x , y ) = w ( y , x ) ，则称 𝒱 ⊕ 𝒱 上的双线性型 w 是对称的。 𝒱 上的二次型是通过写入 q ( x ) = w ( x , x ) 从双线性型 w 获得的 𝒱 上的函数 q 。证明如果底层标量域的特征不等于 2 ，那么每个对称双线性型都由相应的二次型唯一确定。如果特征是 2 会发生什么？
  2. 非对称双线性型是否可以定义与对称双线性型相同的二次型？