对等

由于 $(1, 3) (1, 2) = (1, 2) (2, 3)$ ( $= (1, 2, 3)$ )，我们看到将置换（甚至是循环）表示为对换之积的形式不一定是唯一的。由于 $(1, 3) (1, 4) (1, 2) (3, 4) (3, 2) = (1, 4) (1, 3) (1, 2) (= (1, 2, 3, 4)),$ 我们看到甚至分解一个循环所需的对换个数也不一定是唯一的。尽管如此，这种分解还是有一些独特之处，即所需的对换个数是偶数还是奇数。下面我们精确地阐述这一结果并予以证明。

为简化记号，假设 $k = 4$ 。设 $f$ 是由下式定义的（含四个变量 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ， $t_{4}$ 的）多项式： $f (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = (t_{1} - t_{2}) (t_{1} - t_{3}) (t_{1} - t_{4}) (t_{2} - t_{3}) (t_{2} - t_{4}) (t_{3} - t_{4}) .$ （在一般情况下， $f$ 是所有差值 $t_{i} - t_{j}$ 的乘积，其中 $1 \leq i < j \leq k$ 。） $𝒮_{4}$ 中的每个置换 $π$ 都将 $f$ 转换为一个新的多项式，记作 $π f$ ；根据定义 $(π f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = f (t_{π (1)}, t_{π (2)}, t_{π (3)}, t_{π (4)}) .$ 口头表述：为了得到 $π f$ ，将 $f$ 中的每个变量替换为这样一个变量，其下标是通过让 $π$ 作用于给定变量的下标而得到的。例如，如果 $π = (2, 4)$ ，那么 $(π f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = (t_{1} - t_{4}) (t_{1} - t_{3}) (t_{1} - t_{2}) (t_{4} - t_{3}) (t_{4} - t_{2}) (t_{3} - t_{2}) .$ 如果 $σ = (1, 3, 2, 4)$ ，从而 $σ π = (1, 3, 2)$ ，那么 $(σ (π f)) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4})$ 和 $((σ π) f) (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4})$ 都等于 $(t_{3} - t_{1}) (t_{3} - t_{2}) (t_{3} - t_{4}) (t_{1} - t_{2}) (t_{1} - t_{4}) (t_{2} - t_{4}) .$ 这些计算说明并指明了三个重要事实的证明。(1) 对于每个置换 $π$ ， $π f$ 的因子与 $f$ 的因子相同，可能符号和顺序不同；因此，要么 $π f = f$ ，要么 $π f = - f$ 。如果 $π f = f$ ，则置换 $π$ 被称为偶置换；如果 $π f = - f$ ，则被称为奇置换。置换 $π$ 的符号（记作 $sgn π$ ）根据 $π$ 是偶置换还是奇置换而分别为 $+ 1$ 或 $- 1$ ，因此我们总有 $π f = (sgn π) f$ 。置换 $π$ 是偶置换或奇置换这一事实，有时分别用 $π$ 的奇偶性是偶或奇来表示。(2) 如果 $π$ 是对换，那么 $sgn π = - 1$ ，或者等价地，每个对换都是奇置换。其证明是关于特殊例子 $(2, 4)$ 的以下推理的显然推广。 $f$ 中恰好有一个因子同时包含 $t_{2}$ 和 $t_{4}$ ，并且该因子在从 $f$ 到 $π f$ 的转变中改变了符号。如果一个因子既不包含 $t_{2}$ 也不包含 $t_{4}$ ，它保持不变。仅包含 $t_{2}$ 和 $t_{4}$ 其中之一的因子成对出现（例如对 $(t_{2} - t_{3})$ 和 $(t_{3} - t_{4})$ ，或者对 $(t_{1} - t_{2})$ 和 $(t_{1} - t_{4})$ ）。这样一对中的每个因子都会变成另一个因子，可能符号会发生变化；如果其中一个因子的符号发生变化，其配对因子的符号也会发生变化。(3) 如果 $σ$ 和 $τ$ 是置换，那么 $(σ τ) f = σ (τ f)$ ；因此， $σ τ$ 是偶置换当且仅当 $σ$ 和 $τ$ 具有相同的奇偶性。注意， $sgn (σ τ) = (sgn σ) (sgn τ)$ 。

由 (2) 和 (3) 可知，一族对换之积是偶置换当且仅当对换的个数是偶数，否则是奇置换。（特别注意，通过查看 “循环”一节定理 2 的证明，一个 $p$ -循环是偶置换当且仅当 $p$ 是奇数；换句话说，如果 $σ$ 是一个 $p$ -循环，那么 $sgn σ = (- 1)^{p + 1}$ 。）结论：无论一个置换 $π$ 如何分解为对换，因子的个数要么总是偶数（当 $π$ 是偶置换时），要么总是奇数（当 $π$ 是奇置换时）。

两个偶置换的乘积是偶置换；偶置换的逆是偶置换；恒等置换是偶置换。这些事实可以总结为：所有偶置换的集合是 $𝒮_{k}$ 的一个子群；这个子群（记作 $𝒜_{k}$ ）被称为 k 次交错群。

练习

练习 1. $𝒜_{k}$ 中有多少个置换？

练习 2. 给出具有偶数阶的偶置换和具有奇数阶的偶置换的例子；对奇置换也做同样的事。

练习 3. $𝒜_{k}$ （ $k > 2$ ）中的每个置换都可以写成乘积形式，其每个因子都是 $3$ -循环 $(1, 2, 3), (1, 2, 4), \dots, (1, 2, k)$ 之一。