对偶基

在开始证明这些重要定理之前，再多说几句。对偶空间的概念是在没有任何坐标系参考的情况下定义的；但扫一眼接下来的证明就会发现，其中充斥着大量的坐标系。我们想指出的是，这种现象是不可避免的；我们将要建立关于维数的结论，而维数是（到目前为止）唯一一个其定义本身就是用基来给出的概念。

定理 1. 设 $𝒱$ 是一个 n 维向量空间，设 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的一个基，且设 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是任意一组 $n$ 个标量，则在 $𝒱$ 上存在唯一的一个线性泛函 $y$ ，使得对于 $i = 1, \dots, n$ 有 $[x_{i}, y] = α_{i}$ 。

证明. $𝒱$ 中的每个 $x$ 都可以唯一地写成 $x = ξ_{1} x_{1} + \dots + ξ_{n} x_{n}$ 的形式；如果 $y$ 是任意线性泛函，那么 $[x, y] = ξ_{1} [x_{1}, y] + \dots + ξ_{n} [x_{n}, y] .$ 从这个关系式中， $y$ 的唯一性是显而易见的；如果 $[x_{i}, y] = α_{i}$ ，那么对于每个 $x$ ， $[x, y]$ 的值由 $[x, y] = \sum_{i} ξ_{i} α_{i}$ 决定。这个论证也可以反过来；如果我们通过 $[x, y] = ξ_{1} α_{1} + \dots + ξ_{n} α_{n},$ 来定义 $y$ ，那么 $y$ 确实是一个线性泛函，并且满足 $[x_{i}, y] = α_{i}$ 。 ◻

定理 2. 设 $𝒱$ 是一个 $n$ 维向量空间，且设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的一个基，则在中存在唯一确定的基，，满足性质 $[x_{i}, y_{j}] = δ_{i j}$ 。因此，一个 $n$ 维空间的对偶空间也是 $n$ 维的。

基称为 $𝒳$ 的对偶基。

证明. 由定理 1 可知，对于每个 $j = 1, \dots, n$ ，都可以找到唯一的 $y_{j}$ 属于，使得 $[x_{i}, y_{j}] = δ_{i j}$ ；我们只需证明集合是中的一个基。

首先，是一个线性无关集，因为如果我们有 $α_{1} y_{1} +$ $\dots + α_{n} y_{n} = 0$ ，换句话说，如果对于所有的 $x$ 都有 $[x, α_{1} y_{1} + \dots + α_{n} y_{n}] = α_{1} [x, y_{1}] + \dots + α_{n} [x, y_{n}] = 0$ ，那么对于 $x = x_{i}$ ，我们应该有

$0 = \sum_{j} α_{j} [x_{i}, y_{j}] = \sum_{j} α_{j} δ_{i j} = α_{i} .$

其次，中的每个 $y$ 都是 $y_{1}, \dots, y_{n}$ 的线性组合。为了证明这一点，设 $[x_{i}, y] = α_{i}$ ；那么，对于 $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i}$ ，我们有 $[x, y] = ξ_{1} α_{1} + \dots + ξ_{n} α_{n} .$

另一方面 $[x, y_{j}] = \sum_{i} ξ_{i} [x_{i}, y_{j}] = ξ_{j}$

因此，代入前一个等式，我们得到

因此 $y = α_{1} y_{1} + \dots + α_{n} y_{n}$ ，定理的证明至此完成。 ◻

我们还将需要定理 2 的以下简单推论。

定理 3. 如果 $u$ 和 $v$ 是 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 的任意两个不同的向量，那么在 $𝒱$ 上存在一个线性泛函 $y$ 使得 $[u, y] \neq [v, y]$ ；或者等价地，对于 $𝒱$ 中的任何非零向量 $x$ ，都存在中的一个 $y$ 使得 $[x, y] \neq 0$ 。

证明. 通过考虑 $x = u - v$ ，可以看出定理中的这两个陈述确实是等价的。因此，我们仅证明后一个陈述。

设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的任意基，且设是中的对偶基。如果 $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i}$ ，那么（如上所述） $[x, y_{j}] = ξ_{j}$ 。因此，如果对于所有的 $y$ 都有 $[x, y] = 0$ ，特别地，如果对于 $j = 1, \dots, n$ 都有 $[x, y_{j}] = 0$ ，那么 $x = 0$ 。 ◻