子空间的维数

定理 1

定理 1. 在 $n$ 维向量空间 $V$ 中的子空间 $M$ 是一个维度 $\leq n$ 的向量空间。

证明.

证明. 可以给出一个看似简短的定理证明，步骤如下。 $𝒱$ 中的任意 $n + 1$ 个向量构成的集合都是线性相关的，因此对于 $ℳ$ 也是如此；因此，特别地， $ℳ$ 的每个基中的元素个数都 $\leq n$ ，证毕。

这个论证的问题在于，我们定义维度 $n$ 时，首先要求存在一个有限基，然后要求这个基恰好包含 $n$ 个元素。上述证明仅说明了没有任何基可以包含超过 $n$ 个元素；它并没有说明存在任何基。然而，一旦注意到这个困难，就很容易填补这一空白。如果 $ℳ = 𝒪$ ，那么 $ℳ$ 是 $0$ 维的，证明完成。如果 $ℳ$ 包含一个非零向量 $x_{1}$ ，设 $ℳ_{1}$ （ $\subset ℳ$ ）为由 $x_{1}$ 张成的子空间。如果 $ℳ = ℳ_{1}$ ，那么 $ℳ$ 是 $1$ 维的，证明完成。如果 $ℳ \neq ℳ_{1}$ ，设 $x_{2}$ 是 $ℳ$ 中不包含在 $ℳ_{1}$ 中的一个元素，并设 $ℳ_{2}$ 为由 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 张成的子空间；依此类推。现在我们可以合理地使用上面给出的论证；在进行不超过 $n$ 步此类步骤后，该过程就会结束，因为（根据章节：维度，定理 2）我们无法找到 $n + 1$ 个线性无关的向量。 ◻

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以下结果是定理 1 的这第二个且正确的证明的一个重要推论。

定理 2

定理 2. 给定 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 中的任意 $m$ 维子空间 $ℳ$ ，我们可以在 $𝒱$ 中找到一个基 ${x_{1}, \dots, x_{m}, x_{m + 1}, \dots, x_{n}}$ ，使得 $x_{1}, \dots, x_{m}$ 在 $ℳ$ 中，并因此构成 $ℳ$ 的一个基。

我们将用符号 $\dim 𝒱$ 来表示向量空间 $𝒱$ 的维度。在这种记法下，定理 1 断言，如果 $ℳ$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 的子空间，那么 $\dim ℳ \leq \dim 𝒱$ 。

练习

练习 1.

练习 1. 如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是具有相同维度的有限维子空间，且 $ℳ \subset 𝒩$ ，那么 $ℳ = 𝒩$ 。

练习 2.

练习 2. 如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是向量空间 $𝒱$ 的子空间，且 $𝒱$ 中的每个向量要么属于 $ℳ$ ，要么属于 $𝒩$ （或两者皆属于），那么要么 $ℳ = 𝒱$ ，要么 $𝒩 = 𝒱$ （或两者皆是）。

练习 3.

练习 3. 如果 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 是满足 $x + y + z = 0$ 的向量，那么 $x$ 和 $y$ 张成的子空间与 $y$ 和 $z$ 张成的子空间相同。

练习 4.

练习 4. 假设 $x$ 和 $y$ 是向量，且 $ℳ$ 是向量空间 $𝒱$ 中的一个子空间；设 $ℋ$ 是由 $ℳ$ 和 $x$ 张成的子空间，设 $𝒦$ 是由 $ℳ$ 和 $y$ 张成的子空间。证明：如果 $y$ 在 $ℋ$ 中但不在 $ℳ$ 中，那么 $x$ 在 $𝒦$ 中。

练习 5.

练习 5. 假设 $ℒ$ 、 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是某个向量空间的子空间。

说明等式 $ℒ \cap (ℳ + 𝒩) = (ℒ \cap ℳ) + (ℒ \cap 𝒩)$ 不一定成立。
证明 $ℒ \cap (ℳ + (ℒ \cap 𝒩)) = (ℒ \cap ℳ) + (ℒ \cap 𝒩)$

练习 6.

向量空间 $𝒱$ 的一个非平凡子空间（即不同于 $𝒪$ 和 $𝒱$ 的子空间）是否可能拥有唯一的补空间？
如果 $ℳ$ 是 $n$ 维向量空间中的一个 $m$ 维子空间，那么 $ℳ$ 的每个补空间都具有维度 $n - m$ 。

练习 7.

证明：如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 都是五维向量空间的三维子空间，那么 $ℳ$ 和 $𝒩$ 不是不相交的。
如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是向量空间的有限维子空间，那么 $\dim ℳ + \dim 𝒩 = \dim (ℳ + 𝒩) + \dim (ℳ \cap 𝒩) .$

练习 8.

练习 8. 如果多项式 $x$ 对所有的 $t$ 恒满足 $x (- t) = x (t)$ ，则称其为偶多项式（参见章节：子空间，(3)），如果满足 $x (- t) = - x (t)$ ，则称其为奇多项式。

(a) 偶多项式类 $ℳ$ 和奇多项式类 $𝒩$ 都是所有（复）多项式空间 $𝒫$ 的子空间。

(b) 证明 $ℳ$ 和 $𝒩$ 互为补空间。