子空间

几何学中感兴趣的对象不仅是所考虑空间的点，还有它的线、面等。我们接下来研究这些高维元素在一般向量空间中的对应物。

定义 1. 向量空间 $𝒱$ 的一个非空子集 $ℳ$ 是一个子空间或线性流形，如果伴随着包含在 $ℳ$ 中的每一对向量 $x$ 和 $y$ ，其任意线性组合 $α x + β y$ 也包含在 $ℳ$ 中。

警告：伴随着每个向量 $x$ ，子空间也包含 $x - x$ 。因此，如果我们将子空间解释为广义的线和面，我们必须注意只考虑穿过原点的线和面。

向量空间 $𝒱$ 中的子空间 $ℳ$ 本身也是一个向量空间；读者可以很容易地验证，在与我们在 $𝒱$ 中相同的加法和标量乘法定义下，该集合满足章节：向量空间的公理 (A) 、(B) 和 (C) 。

两个特殊的子空间例子是：

仅由原点组成的集合 $𝒪$ ，以及
整个空间 $𝒱$ 。

以下例子则不那么平凡。

例 1. 设 $n$ 和 $m$ 为任意两个严格正整数， $m \leq n$ 。设 $ℳ$ 为 $ℂ^{n}$ 中所有满足 $ξ_{1} = \dots = ξ_{m} = 0$ 的向量 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 的集合。

例 2. 设 $m$ 和 $n$ 如 (1) 中所示，我们考虑空间 $𝒫_{n}$ ，以及任意 $m$ 个实数 $t_{1}, \dots, t_{m}$ 。设 $ℳ$ 为 $𝒫_{n}$ 中所有满足 $x (t_{1}) = \dots = x (t_{m}) = 0$ 的向量（多项式） $x$ 的集合。

例 3. 设 $ℳ$ 为 $𝒫$ 中所有关于 $t$ 恒满足 $x (t) = x (- t)$ 的向量 $x$ 的集合。

我们需要一些记号和术语。对于给定集合的子集的任意族 $ℳ_{ν}$ （例如，向量空间 $𝒱$ 中子空间的族），我们用 $⋂_{ν} ℳ_{ν}$ 表示所有 $ℳ_{ν}$ 的交集，即它们共有的点集。此外，如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是一个集合的子集，若 $ℳ$ 是 $𝒩$ 的子集，即如果 $ℳ$ 的每个元素也属于 $𝒩$ ，我们记作 $ℳ \subset 𝒩$ 。（注意，我们不排除 $ℳ = 𝒩$ 的可能性；因此我们既写 $𝒱 \subset 𝒱$ ，也写 $𝒪 \subset 𝒱$ 。）对于有限族 ${ℳ_{1}, \dots, ℳ_{n}}$ ，我们将用 $ℳ_{1} \cap \dots \cap ℳ_{n}$ 代替 $⋂_{ν} ℳ_{ν}$ ；若两个子空间 $ℳ$ 和 $𝒩$ 满足 $ℳ \cap 𝒩 = 𝒪$ ，我们将称 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是不相交的。