多重线性型

我们现在准备好继续讨论多重线性代数。其基本概念是多重线性型（或泛函），这是双线性型概念的简单推广。假设 𝒱 1 , … , 𝒱 k 是（同一域上的）向量空间；一个 k-线性 型（ k = 1 , 2 , 3 , … ）是直和 𝒱 1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝒱 k 上的标量值函数，它具有如下性质：对于任意 k − 1 个自变量的每个固定值，它都线性地依赖于其余的自变量。 1 -线性型就是（ 𝒱 1 上的）线性泛函，而 2 -线性型就是（ 𝒱 1 ⊕ 𝒱 2 上的）双线性型。 3 -线性（或三线性）型是（ 𝒱 1 ⊕ 𝒱 2 ⊕ 𝒱 3 上的）标量值函数 w ，满足 w ( α 1 x 1 + α 2 x 2 , y , z ) = α 1 w ( x 1 , y , z ) + α 2 w ( x 2 , y , z ) , 并且对于 w ( x , α 1 y 1 + α 2 y 2 , z ) 和 w ( x , y , α 1 z 1 + α 2 z 2 ) 也成立类似的等式。对于某个 k 是 k -线性的函数称为 多重线性型 。

双线性型的大部分理论可以很容易地推广到多重线性情况。因此，例如，如果 w 1 和 w 2 是 k -线性型，如果 α 1 and α 2 是标量，并且只要当 x i 在 𝒱 i 中， i = 1 , … , k 时， w 由 w ( x 1 , … , x k ) = α 1 w 1 ( x 1 , … , x k ) + α 2 w 2 ( x 1 , … , x k ) 定义，那么 w 是一个 k -线性型，记作 α 1 w 1 + α 2 w 2 。关于线性运算的这种定义，所有 k -线性型的集合是一个向量空间；该向量空间的维数是乘积 n 1 … n k ，其中 n i 当然是 𝒱 i 的维数。所有这些陈述的证明都与双线性情况的相应陈述的证明（在 章节：双线性型 中）完全一样。我们可以继续模仿双线性理论，特别是研究多重张量积。为了将我们在多重线性方面的枝节讨论限制在最小限度，我们将转而朝着一个不同的、更特殊的、且对我们的目的而言更有用的方向前进。

在下文中，我们将把注意力限制在 k 个空间 𝒱 i 都等于同一个向量空间（不妨设为 𝒱 ）的情况；我们将假设 𝒱 是有限维的。在这种情况下，我们将把“ 𝒱 1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝒱 k 上的 k -线性型”简称为“ 𝒱 上的 k -线性型”，或者更简单地称为“ k -线性型”；这种语言稍微有些不准确，但在上下文中完全没有歧义。如果 𝒱 的维数是 n ，那么所有 k -线性型的向量空间的维数就是 n k 。在接下来的讨论中，空间 𝒱 以及维数 n 当然都将保持不变。

我们所研究情况的特殊性质使我们能够应用一种并非普遍适用的技术；该技术是通过 𝒮 k 中的置换来作用于 k -线性型。如果 w 是一个 k -线性型，并且如果 π 在 𝒮 k 中，那么只要当 x 1 , … , x k 在 𝒱 中时，我们记 π w ( x 1 , … , x k ) = w ( x π ( 1 ) , … , x π ( k ) ) 。如此定义的函数 π w 仍然是一个 k -线性型。（更严谨地说， π w 在 ( x 1 , … , x k ) 处的值应记为 ( π w ) ( x 1 , … , x k ) ；然而，由于较简单的记法似乎不会引起任何混淆，我们将继续使用它。）

利用置换作用于 k -线性型的方式，我们可以定义一些有趣的此类型的集合。因此，例如，如果对于 𝒮 k 中的每个置换 π 都有 π w = w ，则称 k -线性型 w 是 对称的 。（注意，如果 k = 1 ，那么这个条件显然满足。）所有对称 k -线性型的集合是所有 k -线性型空间的一个子空间。因此，特别地，该空间的零点，即 k -线性型 0 ，是对称的。作为一个非平凡的例子，假设 k = 2 ，设 y 1 和 y 2 是 𝒱 上的线性泛函，并记 w ( x 1 , x 2 ) = y 1 ( x 1 ) y 2 ( x 2 ) + y 1 ( x 2 ) y 2 ( x 1 ) . 这种构造 k -线性型的方法有很有用的推广。因此，例如，如果 1 ≤ h < k ≤ n ，且 u 是一个 h -线性型， v 是一个 ( k − h ) -线性型，那么等式 w ( x 1 , … , x k ) = u ( x 1 , … , x h ) ⋅ v ( x h + 1 , … , x k ) 定义了一个 k -线性型 w ，它在一般情况下不是对称的。对称的 k -线性型可以通过构造 ∑ π w 从 w （或者就此而言，从任何给定的 k -线性型）中获得，其中求和范围延伸到 𝒮 k 中的所有置换 π 。

我们将不再研究对称 k -线性型。我们在这里引入它们，是因为它们构成了一类非常自然的、可以用置换来定义的函数。我们现在放弃它们，转而研究另一类在理论中起着大得多的作用的函数。