商空间的维数

定理 1. 设 ℳ 和 𝒩 是向量空间 𝒱 的互补子空间，则将 𝒩 中的每个向量 y 对应到陪集 y + ℳ 的对应关系是 𝒩 与 𝒱 / ℳ 之间的同构。

证明. 如果 y 1 和 y 2 是 𝒩 中的元素，使得 y 1 + ℳ = y 2 + ℳ ，那么特别地， y 1 属于 y 2 + ℳ ，从而对于 ℳ 中的某个 x ，有 y 1 = y 2 + x 。因为这意味着 y 1 − y 2 = x ，且由于 ℳ 和 𝒩 是不相交的，因此可以得出 x = 0 ，从而 y 1 = y 2 。（回想一下， y 1 − y 2 与 y 1 和 y 2 一同属于 𝒩 。）这一论证证明了我们正在研究的对应关系目前来看是一对一的（单射）。为了证明它是满射的，考虑 ℳ 的一个任意陪集，设为 z + ℳ 。因为 𝒱 = 𝒩 + ℳ ，我们可以将 z 写成 y + x 的形式，其中 x 在 ℳ 中， y 在 𝒩 中；由此可得（因为 x + ℳ = ℳ ） z + ℳ = y + ℳ 。这证明了 ℳ 的每个陪集都可以通过使用 𝒩 中的元素（而不仅仅是 𝒱 中的任意元素）来获得；因此， y → y + ℳ 确实是 𝒩 与 𝒱 / ℳ 之间的一一对应。该对应关系的线性性质直接由 𝒱 / ℳ 中线性运算的定义得出；事实上，我们有 ( α 1 y 1 + α 2 y 2 ) + ℳ = α 1 ( y 1 + ℳ ) + α 2 ( y 2 + ℳ ) . ◻

定理 2. 设 ℳ 是 n 维向量空间 𝒱 的 m 维子空间，则 𝒱 / ℳ 的维数为 n − m 。

证明. 利用 章节：直和的维数 定理 2，可以找到一个子空间 𝒩 使得 ℳ ⊕ 𝒩 = 𝒱 。空间 𝒩 的维数为 n − m （根据 章节：直和的维数 定理 1），且它与 𝒱 / ℳ 同构（根据上述定理 1）。 ◻

关于商空间理论，我们还可以讨论更多的课题（例如它们与对偶空间和零化子的关系）。然而，由于大多数此类课题几乎只是练习，仅涉及使用我们已经掌握的技术，因此我们转而探讨一些构建有用向量空间的全新且非显而易见的方法。

练习

练习 1. 考虑通过将多项式空间 𝒫 模去各种子空间而得到的商空间。如果 ℳ = 𝒫 n ，那么 𝒫 / ℳ 是有限维的吗？如果 ℳ 是由所有偶多项式组成的子空间呢？如果 ℳ 是由所有能被 x n 整除的多项式组成的子空间呢（其中 x n ( t ) = t n ）？

练习 2. 如果 𝒮 和 𝒯 是向量空间的任意子集（不一定是子空间的陪集），我们完全可以像定义陪集的加法那样来定义 𝒮 + 𝒯 ，类似地，我们也可以定义 α 𝒮 （其中 α 是标量）。如果将向量空间的所有子集构成的类赋予这些“线性运算”，那么向量空间的哪些公理能够得到满足？

练习 3. 

  1. 假设 ℳ 是向量空间 𝒱 的一个子空间。如果 x − y 在 ℳ 中，则称 𝒱 中的两个向量 x 和 y 模 ℳ 同余，记作 x ≡ y ( ℳ ) 。证明模 ℳ 同余是一个等价关系，即它是自反的（ x ≡ x ）、对称的（如果 x ≡ y ，则 y ≡ x ）和传递的（如果 x ≡ y 且 y ≡ z ，则 x ≡ z ）。
  2. 如果 α 1 和 α 2 是标量，且 x 1 、 x 2 、 y 1 和 y 2 是向量，使得 x 1 ≡ y 1 ( ℳ ) 且 x 2 ≡ y 2 ( ℳ ) ，那么 α 1 x 1 + α 2 x 2 ≡ α 1 y 1 + α 2 y 2 ( ℳ ) 。
  3. 模 ℳ 同余将 𝒱 划分为等价类，即划分成若干个集合，使得两个向量属于同一个集合当且仅当它们同余。证明 𝒱 的子集是模 ℳ 的等价类当且仅当它是 ℳ 的一个陪集。

练习 4. 

  1. 假设 ℳ 是向量空间 𝒱 的一个子空间。对应于 𝒱 / ℳ 上的每一个线性泛函 y （即 的每一个元素 y ），都存在一个 𝒱 上的线性泛函 z （即 的一个元素）；该线性泛函 z 定义为 z ( x ) = y ( x + ℳ ) 。证明对应关系 y → z 是 与 ℳ 0 之间的同构。
  2. 假设 ℳ 是向量空间 𝒱 的一个子空间。对应于 中 ℳ 0 的每一个陪集 y + ℳ 0 （即 的每一个元素 ℋ ），都存在一个 ℳ 上的线性泛函 z （即 的一个元素 z ）；该线性泛函 z 定义为 z ( x ) = y ( x ) 。证明 z 是由陪集 ℋ 唯一确定的（也就是说，它不依赖于 y 的具体选择），并且对应关系 ℋ   z 是 与 之间的同构。

练习 5. 给定一个有限维向量空间 𝒱 ，构造直和 ，并证明对应关系 ⟨ x , y ⟩ → ⟨ y , x ⟩ 是 𝒲 与 之间的同构。