谱定理

我们现在准备证明本书的主定理，本章的许多其他结果都是该定理的直接推论。在某种程度上，我们到目前为止所做的工作只是一种消遣（然而，对于推广很有用）；我们想展示在证明谱定理之前，利用谱理论可以方便地做多少事情。顺便提一下，在复数情况下，谱定理可以从我们已经描述过的三角化过程中推导出来；由于该定理的重要性，我们更倾向于在下面给出其（相当简单的）直接证明。读者可能会发现，套用第 56 节：三角形式定理 2 的证明方法（而非结果），来尽可能多地证明谱定理及其推论，是有益的。

定理 1. 对于有限维内积空间上的每个自伴随线性变换 $A$ ，都存在实数 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 和正交投影 $E_{1}, \dots, E_{r}$ （其中 $r$ 是一个严格正整数，不大于空间的维数），使得

$α_{j}$ 两两互不相同，
$E_{j}$ 两两正交且不等于 $0$ ，
$\sum_{j} E_{j} = 1$ ，
$\sum_{j} α_{j} E_{j} = A$ 。

证明. 设 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 是 $A$ 的不同特征值，并设 $E_{j}$ 是到由 $A x = α_{j} x$ （ $j = 1, \dots, r$ ）的所有解组成之子空间上的正交投影。根据定义，条件 (1) 显然满足； $α$ 是实数这一事实由第 78 节：谱的特征定理 1 得出。条件 (2) 由第 78 节：谱的特征定理 4 得出。由 $E_{j}$ 的正交性，我们推断如果 $E = \sum_{j} E_{j}$ ，那么 $E$ 是一个正交投影。 $E$ 的值域维数是各个 $E_{j}$ 值域维数的和，因此，根据第 78 节：谱的特征定理 6， $E$ 的值域维数等于整个空间的维数；这蕴含了 (3)。（或者，如果 $E \neq 1$ ，那么在 $1 - E$ 的值域上考虑的 $A$ 将是一个没有特征值的自伴随变换。）为了证明 (4)，取任意向量 $x$ 并记 $x_{j} = E_{j} x$ ；由此可得 $A x_{j} = α_{j} x_{j}$ ，因此这便完成了谱定理的证明。 ◻

表示式 $A = \sum_{j} α_{j} E_{j}$ （其中 $α$ 和 $E$ 满足定理 1 的条件 (1)-(3)）称为 $A$ 的谱形式；以下结果的主要作用是证明谱形式的唯一性。

定理 2. 如果 $\sum_{j = 1}^{r} α_{j} E_{j}$ 是有限维内积空间上自伴随变换 $A$ 的谱形式，那么 $α$ 是 $A$ 的所有互不相同的特征值。此外，如果 $1 \leq k \leq r$ ，则存在具有实系数的多项式 $p_{k}$ ，使得当 $j \neq k$ 时 $p_{k} (α_{j}) = 0$ ，且 $p_{k} (α_{k}) = 1$ ；对于每一个这样的多项式，都有 $p_{k} (A) = E_{k}$ 。

证明. 因为 $E_{j} \neq 0$ ，所以存在 $E_{j}$ 值域中的向量 $x$ 。由于当 $i \neq j$ 时， $E_{j} x = x$ 且 $E_{i} x = 0$ ，因此可得 $A x = \sum_{i} α_{i} E_{i} x = α_{j} E_{j} x = α_{j} x,$ 从而每个 $α_{j}$ 都是 $A$ 的特征值。反之，如果 $λ$ 是 $A$ 的任意特征值，设为 $A x = λ x$ 且 $x \neq 0$ ，那么我们记 $x_{j} = E_{j} x$ ，并看到 $A x = λ x = λ \sum_{j} x_{j}$ 以及 $A x = A \sum_{j} x_{j} = \sum_{j} α_{j} x_{j},$ 从而 $\sum_{j} (λ - α_{j}) x_{j} = 0$ 。由于 $x_{j}$ 两两正交，其中不为零的向量构成一个线性无关集。由此可知，对于每个 $j$ ，要么 $x_{j} = 0$ ，要么 $λ = α_{j}$ 。因为 $x \neq 0$ ，所以对于某个 $j$ 必有 $x_{j} \neq 0$ ，因此 $λ$ 确实等于其中一个 $α$ 。

由于当 $i \neq j$ 时 $E_{i} E_{j} = 0$ ，且 $E_{j}^{2} = E_{j}$ ，因此可得类似地，对于每个正整数 $n$ （在 $n = 0$ 的情况下，使用 (3)），都有 $A^{n} = \sum_{j} α_{j}^{n} E_{j}$ 从而对于每个多项式 $p$ 都有 $p (A) = \sum_{j} p (α_{j}) E_{j}$ 为了结束定理的证明，我们只需要给出一个（实）多项式 $p_{k}$ ，使得当 $j \neq k$ 时 $p_{k} (α_{j}) = 0$ ，且 $p_{k} (α_{k}) = 1$ 。如果我们写出 $p_{k} (t) = \prod_{j \neq k} \frac{t - α_{j}}{α_{k} - α_{j}},$ 那么 $p_{k}$ 就是一个具有所有所需性质的多项式。 ◻

定理 3. 如果 $\sum_{j = 1}^{r} α_{j} E_{j}$ 是有限维内积空间上自伴随变换 $A$ 的谱形式，那么线性变换 $B$ 与 $A$ 可交换的充分必要条件是它与每个 $E_{j}$ 都可交换。

证明. 该条件的充分性是显然的；如果 $A = \sum_{j} α_{j} E_{j}$ 且对于所有 $j$ 都有 $E_{j} B = B E_{j}$ ，那么 $A B = B A$ 。必要性由定理 2 得出；如果 $B$ 与 $A$ 可交换，那么 $B$ 与 $A$ 的每个多项式都可交换，因此 $B$ 与每个 $E_{j}$ 都可交换。 ◻

在进一步利用谱定理之前，我们先评述一下它的矩阵解释。如果我们选择每个 $E_{j}$ 值域中的一个标准正交基，那么这些小基中所有向量的全体就是整个空间的一个基；在此基下， $A$ 的矩阵将是对角矩阵。通过适当选择标准正交基，可以使自伴随变换的矩阵成为对角矩阵，或者等价地，任何自伴随矩阵都可以通过等距变换（即用 $[U]^{- 1} [A] [U]$ 代替，其中 $U$ 是等距变换）转化为对角矩阵，这一事实（在复数情况下）已经可以从三角形式理论中得出。我们给出代数版本有两个原因。首先，正是这个版本很容易推广到无限维情况；其次，即使在有限维情况下，写成 $\sum_{j} α_{j} E_{j}$ 相比于矩阵表示，通常在记号和排版上也有很大的优势。

我们将利用这样一个事实：一个不一定是自伴随的变换 $A$ 是可等距对角化的（即它关于某个适当标准正交基的矩阵是对角矩阵），当且仅当定理 1 的条件 (1)-(4) 对其成立。事实上，如果我们有 (1)-(4)，那么为自伴随变换给出的对角化证明同样适用；反之，我们留作读者的练习。

练习

练习 1. 假设 $A$ 是复内积空间上的线性变换。证明：如果 $A$ 是埃尔米特（Hermitian）的，那么 $A$ 的极小多项式的线性因子是互不相同的。逆命题是否成立？

练习 2.

如果存在一个酉变换 $U$ 使得 $A = U^{- 1} B U$ ，则称酉空间上的两个线性变换 $A$ 和 $B$ 是酉等价的。（在实数情况下的对应概念称为正交等价。）证明酉等价是一个等价关系。
$A^{*} A$ 和 $A A^{*}$ 是否总是酉等价的？
$A$ 和 $A^{*}$ 是否总是酉等价的？

练习 3. 下列哪几对矩阵是酉等价的？

$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & i \end{matrix}]$ 。
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。

练习 4. 如果两个线性变换是酉等价的，那么它们是相似的，并且它们是合同的；如果两个线性变换是相似的或合同的，那么它们是等价的。用例子说明，在这些概念之间，只有这些蕴含关系成立。