自伴变换

现在让我们来研究内积空间 $𝒱$ 上所有线性变换构成的类的代数结构。在许多基本方面，这个类与所有复数构成的类非常相似。在这两个系统中，都定义了加法、乘法、$0$ 和 $1$ 的概念，并且具有相似的性质；在这两个系统中，都存在一个系统到自身的对合反自同构（即 $A\to A^{\ast }$ 和 $\zeta \to \overline{\zeta }$ ）。我们将把这种类比作为一个启发式原则，并试图将复数域中一些著名的概念推广到线性变换中。在线性变换理论中，有两点困难会阻碍我们的这项工作，可能令人惊讶的是，第二点要严重得多：它们是无限制除法的不可能性以及一般线性变换的非交换性。

复数平面上最重要的三个子集是实数集、正实数集以及绝对值为一的数集。现在我们将系统地利用变换与复数之间的启发式类比，并试图在变换中寻找这些著名数值概念的对应物。

复数什么时候是实数？显然，$\zeta$ 为实数的充要条件是等式 $\zeta =\overline{\zeta }$ 成立。因此，我们（记住线性变换中复共轭的对应物是伴随算子）可以定义一个线性变换 $A$ 在满足 $A=A^{\ast }$ 时为实。更常用的是，满足 $A=A^{\ast }$ 的线性变换 $A$ 被称为自伴的；在实内积空间中，通常的词是对称的，而在复内积空间中，则是埃尔米特的。我们将看到，自伴变换确实起到了与实数相同的作用。

刻画自伴变换关于标准正交基 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ 的矩阵是相当容易的。如果 $A$ 的矩阵是 $({\alpha }_{ij})$ ，那么我们知道 $A^{\ast }$ 关于 $𝒳$ 的对偶基的矩阵是 $({\alpha }_{ij}^{\ast })$ ，其中 ${\alpha }_{ij}^{\ast }=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ；由于标准正交基是自对偶的，且由于 $A=A^{\ast }$ ，我们有 $${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}.$$ 我们把逆命题的验证留给读者：如果我们通过一个矩阵 $({\alpha }_{ij})$ 和一个任意的标准正交坐标系 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ，利用通常的方程定义一个线性变换 $A$ ：

并且如果矩阵 $({\alpha }_{ij})$ 满足 ${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ，那么 $A$ 是自伴的。

如果我们把自伴变换看作实数的对应物，那么操作自伴变换的代数规则就很容易记住。因此，如果 $A$ 和 $B$ 是自伴的，那么 $A+B$ 也是自伴的；如果 $A$ 是自伴的且不等于 $0$ ，并且如果 $\alpha$ 是一个非零标量，那么 $\alpha A$ 为自伴的充要条件是 $\alpha$ 为实数；如果 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 和 $A^{-1}$ 要么都是自伴的，要么都不是。总是容易出错的地方是在乘法中；两个自伴变换的乘积不一定是自伴的。关于乘积的肯定事实由以下两个定理给出。

复数 $\zeta$ 是纯虚数当且仅当 $\overline{\zeta }=-\zeta$ 。线性变换的对应概念用斜（skew）这个词来标识；如果内积空间上的线性变换 $A$ 满足 $A^{\ast }=-A$ ，那么根据空间是实空间还是复空间，$A$ 分别被称为斜对称的或斜埃尔米特的。这里有一些证据可以说明我们关于复数与线性变换之间的类比是彻底的：任意线性变换 $A$ 都可以唯一地表示为 $A=B+C$ 的形式，其中 $B$ 是自伴的，而 $C$ 是斜的。（$A$ 的这种形式的表示有时被称为 $A$ 的笛卡尔分解。）事实上，如果我们写出 那么我们有 $B^{\ast }=\frac{A^{\ast }+A}{2}=B$ 和 $C^{\ast }=\frac{A^{\ast }-A}{2}=-C$ ，当然，还有 $A=B+C$ 。从笛卡尔分解存在性的这一证明中，其唯一性也是显而易见的；如果我们确实有 $A=B+C$ ，那么 $A^{\ast }=B-C$ ，因此，$A$ 、$B$ 和 $C$ 再次由 (1) 和 (2) 联系起来。

在复数情况下，有一种从埃尔米特变换得到斜埃尔米特变换的简单方法，反之亦然：只需乘以 $i$ （$=\sqrt{-1}$ ）。由此可见，在复数情况下，每个线性变换 $A$ 都有唯一的表示形式 $A=B+iC$ ，其中 $B$ 和 $C$ 是埃尔米特的。我们将把 $B$ 和 $C$ 称为 $A$ 的实部和虚部。

练习