线性泛函

现在有必要理清一般向量空间与内积空间之间的关系。前一节的定理表明，只要我们注意复共轭，

(x, y)

就可以完全代替

[x, y]

。似乎比较理想的做法是这样来阐述一般向量空间的整个课题，使得酉空间中的正交性概念不仅是一个类比，而且成为先前研究过的向量与泛函之间某种一般关系的一个特例。例如，避免共轭带来的不快（或者更确切地说，将其转移到不那么显眼的位置）的一种方法是，将复向量空间的对偶空间定义为共轭线性泛函的集合，即满足以下条件的数值函数

y

的集合：

y (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = {\bar{α}}_{1} y (x_{1}) + {\bar{α}}_{2} y (x_{2}) .

因为将这种复杂性引入一般理论似乎毫无意义（且违背常用习惯），所以我们选择了一条刚刚走过的迂回道路。由于从现在起我们将只讨论内积空间，我们请读者在脑海中修正前面所有的工作，在全文中用圆括号

(x, y)

代替方括号

[x, y]

。让我们来看看这种改变对前两章的定理和定义有什么影响。

用 $𝒱^{*}$ 代替仅仅是记号上的改变；新符号旨在提醒我们，中增加了一些新的东西（即内积）。稍微更有趣的是 $𝒱$ 与 $𝒱^{*}$ 之间的（共轭）同构；借助于它，对偶基一节中断言具有各种性质的线性泛函存在的定理，现在可以解释为断言 $𝒱$ 自身中存在某些向量。因此，例如，对于任何给定的基 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ ，其对偶基的存在现在意味着存在一个（ $𝒱$ 的）基 $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{n}}$ ，它具有性质 $(x_{i}, y_{j}) = δ_{i j}$ 。

更令人兴奋的是，子空间 $ℳ$ 的零化子 $ℳ^{0}$ （ $ℳ^{0}$ 位于或 $𝒱^{*}$ 中）被正交补 $ℳ^{⟂}$ （与 $ℳ$ 一同位于 $𝒱$ 中）所隐式替代。然而，最根本的新进展涉及线性变换的伴随。因此，我们可以写出伴随一节 (1) 的类比，并且对应于 $𝒱$ 上的每个线性变换 $A$ ，我们可以通过对每个 $x$ 写入 $(A x, y) = (x, A^{*} y)$ 来定义一个线性变换 $A^{*}$ 。由该定义可知， $A^{*}$ 也是定义在同一个向量空间 $𝒱$ 上的线性变换，但是，由于 $(x, y)$ 的埃尔米特对称性， $A$ 与 $A^{*}$ 之间的关系与 $A$ 与之间的关系不尽相同。最显著的区别在于（在酉空间中） $(α A)^{*} = \bar{α} A^{*}$ （而不是 $(α A)^{*} = α A^{*}$ ）。与这一现象相关联的事实是，如果 $A$ 关于某个固定基的矩阵是 $(α_{i j})$ ，那么 $A^{*}$ 关于对偶基的矩阵不是 $(α_{j i})$ 而是 $({\bar{α}}_{j i})$ 。对于行列式，我们没有 $\det A^{*} = \det A$ 而是 $\det A^{*} = \overset{―}{\det A}$ ，因此， $A^{*}$ 的特征值与 $A$ 的特征值不同，而是它们的共轭。然而，差异到此为止。关于对应关系 $A ⇄ A^{*}$ 的反同构性质，伴随一节的所有其他结果都是成立的；恒等式 $A = A^{* *}$ 是严格成立的，不需要借助于同构来解释它。

稍后我们将讨论内积空间上的线性变换，我们将看到，将它们的研究与第二章的讨论区分开来的主要新特征是，可以将 $A$ 和 $A^{*}$ 作为同一个空间上的线性变换进行比较，并研究那些与其伴随具有特别简单关系的线性变换类别。