等距变换

我们继续研究数与变换之间的类比。复数 $ζ$ 什么时候绝对值为一？显然，一个充要条件是 $\bar{ζ} = 1 / ζ$ ；在启发式原则的指导下，我们被引导去考虑满足 $U^{*} = U^{- 1}$ ，或者等价地，满足 $U U^{*} = U^{*} U = 1$ 的线性变换 $U$ 。（我们注意到，在有限维向量空间上， $U U^{*} = 1$ 和 $U^{*} U = 1$ 这两个条件中的任何一个都蕴含另一个；参见 Section: Inverses ，定理 1 和定理 2。）根据底层的内积空间是实空间还是复空间，此类变换分别被称为正交的或酉的。我们接下来推导它们的几个有用的等价刻画。

定理 1。内积空间上的线性变换 $U$ 的以下三个条件是等价的。 $对所有和对所有$

证明。如果 (1) 成立，那么对于所有 $x$ 和 $y$ ，有 $(U x, U y) = (U^{*} U x, y) = (x, y)$ 并且，特别地，对于所有 $x$ ，有 $‖ U x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2}$ 这证明了蕴含式 (1) $⟹$ (2) 和 (2) $⟹$ (3)。通过证明 (3) 蕴含 (1) 即可完成证明。如果 (3) 成立，也就是说，如果对于所有 $x$ ，有 $(U^{*} U x, x) = (x, x)$ ，那么 Section: Polarization 定理 2 适用于（自伴）变换 $U^{*} U - 1$ ；结论是 $U^{*} U = 1$ （正如所求）。 ◻

因为 (3) 蕴含对于所有 $x$ 和 $y$ ，有（反向的蕴含式 (4) $⟹$ (3) 也是成立且平凡的），我们看到该定理所讨论的这类变换的特征在于它们保持距离。因此，我们将这种变换称为等距变换。由于正如我们已经指出的，有限维空间上的等距变换必然是正交的或酉的（取决于空间是实空间还是复空间），使用这一术语将使我们能够同时处理实和复的情况。我们注意到（在有限维空间上）等距变换总是可逆的，并且 $U^{- 1}$ （ $= U^{*}$ ）与 $U$ 一样也是等距变换。

在任何代数系统中，特别是在一般的向量空间和内积空间中，研究系统的自同构是很有意义的，即考虑系统到自身的那些保持其元素之间所有结构关系的一一映射。我们已经知道，一般向量空间的自同构是可逆线性变换。在内积空间中，我们对自同构有更高的要求，即它还必须保持内积（从而保持长度和距离）。前一个定理表明，这一要求等价于该变换是等距变换。（我们在这里假设了有限维性；在无限维空间上，等距变换的值域不一定是整个空间。这种在一般性上微不足道的牺牲是为了术语上的方便；对于无限维空间，没有一个常用的词能同时描述正交变换和酉变换。）因此，“哪些线性变换是绝对值为一的复数的类比？”和“有限维内积空间最一般的自同构是什么？”这两个问题有着相同的答案：等距变换。在下一节中，我们将表明等距变换还为第三个重要问题提供了答案。