施瓦茨不等式

定理 1. 如果 $x$ 和 $y$ 是内积空间中的向量，则（施瓦茨不等式） $| (x, y) | \leq ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ .$

证明. 如果 $y = 0$ ，两边均为零。如果 $y \neq 0$ ，那么由向量 $y / ‖ y ‖$ 组成的集合是标准正交的，因此，根据贝塞尔不等式 $| (x, y / ‖ y ‖) |^{2} \leq ‖ x ‖^{2} .$ ◻

施瓦茨不等式具有重要的算术、几何和分析推论。

在任意内积空间中，我们定义两个向量 x 和 y 之间的距离 δ ( x , y ) 为 δ ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ( x − y , x − y ) . 为了使 δ 能够被称为距离，它应该具有以下三个性质：
1. $δ (x, y) = δ (y, x)$ ，
2. $δ (x, y) \geq 0$ ； $δ (x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$ ，
3. $δ (x, y) \leq δ (x, z) + δ (z, y)$ 。
4. $δ (x, y) = δ (x + z, y + z)$ 。）
在欧几里得空间 $ℝ^{n}$ 中，表达式 $\frac{(x, y)}{‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖}$ 给出了 $x$ 与 $y$ 之间夹角的余弦值。在这种情况下，施瓦茨不等式仅仅相当于说明实角的余弦值 $\leq 1$ 。
在酉空间 $ℂ^{n}$ 中，施瓦茨不等式变成了所谓的柯西不等式；它断言，对于复数的任意两个序列 $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 和 $(η_{1}, \dots, η_{n})$ ，我们有 $| \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} {\bar{η}}_{i} |^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} | ξ_{i} |^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} | η_{i} |^{2} .$
在空间 $𝒫$ 中，施瓦茨不等式变为 $| \int_{0}^{1} x (t) \overset{―}{y (t)} d t |^{2} \leq \int_{0}^{1} | x (t) |^{2} d t \cdot \int_{0}^{1} | y (t) |^{2} d t .$

值得注意的是，上述 (1)-(4) 中提到的关系不仅与一般的施瓦茨不等式类似，而且实际上是它的推论或特例。

我们顺便提一下，在这两个概念（一般向量空间和内积空间）之间，还存在一个颇有意义的中间概念。这个概念就是赋范向量空间，即一个定义了可接受的长度但未提及角度的向量空间。向量空间（实或复）中的范数是向量 $x$ 的一个数值函数 $‖ x ‖$ ，满足：除非 $x = 0$ 否则 $‖ x ‖ \geq 0$ ， $‖ α x ‖ = | α | \cdot ‖ x ‖$ ，以及 $‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ 。我们目前的讨论表明，内积空间是一个赋范向量空间；反之在一般情况下并不成立。换句话说，如果仅仅给出一个满足上述三个条件的范数，可能无法找到一个使得 $(x, x)$ 恒等于 $‖ x ‖^{2}$ 的内积。用稍微模糊但或许具有启发性的语言来说，我们可以说内积空间中的范数本质上具有一种“二次”特征，而一般的范数则不一定具备这种特征。