完整

定理 1。设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是内积空间中的任意有限规范正交集，设 $x$ 是任意向量，且设 $α_{i} = (x, x_{i})$ ，则（贝塞尔不等式） $\sum_{i} | α_{i} |^{2} \leq ‖ x ‖^{2} .$ 向量与每个 $x_{j}$ 正交，因此也与由 $𝒳$ 张成的子空间正交。

证明。对于第一个断言：对于第二个断言： ◻

定理 2。设 $𝒳$ 是内积空间 $𝒱$ 中的任意有限规范正交集，则关于 $𝒳$ 的以下六个条件是等价的。

规范正交集 $𝒳$ 是完备的。
如果对所有的 $i = 1, \dots, n$ 都有 $(x, x_{i}) = 0$ ，那么 $x = 0$ 。
由 $𝒳$ 张成的子空间是整个空间 $𝒱$ 。
如果 $x$ 在 $𝒱$ 中，那么 $x = \sum_{i} (x, x_{i}) x_{i}$ 。
如果 $x$ 和 $y$ 在 $𝒱$ 中，那么（帕塞瓦尔等式） $(x, y) = \sum_{i} (x, x_{i}) (x_{i}, y) .$
如果 $x$ 在 $𝒱$ 中，那么 $‖ x ‖^{2} = \sum_{i} | (x, x_{i}) |^{2} .$

证明。我们将建立以下蕴涵关系

(1) $⟹$ (2) $⟹$ (3) $⟹$ (4) $⟹$ (5) $⟹$ (6) $⟹$ (1).

因此，我们首先假设 (1) 并证明 (2)，然后假设 (2) 来证明 (3)，依此类推，直到最后在假设 (6) 的情况下证明 (1)。

(1) $⟹$ (2)。如果对所有 $i$ 都有 $(x, x_{i}) = 0$ 且 $x \neq 0$ ，那么我们可以将 $x / ‖ x ‖$ 并入 $𝒳$ ，从而得到一个比 $𝒳$ 更大的规范正交集。

(2) $⟹$ (3)。如果存在一个 $x$ 不是 $x_{i}$ 的线性组合，那么根据定理 1 的第二部分，不等于 $0$ 且与每个 $x_{i}$ 正交。

(3) $⟹$ (4)。如果每个 $x$ 都具有形式 $x = \sum_{j} α_{j} x_{j}$ ，那么 $(x, x_{i}) = \sum_{j} α_{j} (x_{j}, x_{i}) = α_{i} .$

(4) $⟹$ (5)。如果 $x = \sum_{i} α_{i} x_{i}$ 且 $y = \sum_{j} β_{j} x_{j}$ ，其中 $α_{i} = (x, x_{i})$ 且 $β_{j} = (y, x_{j})$ ，那么

(5) $⟹$ (6)。令 $x = y$ 。

(6) $⟹$ (1)。如果 $𝒳$ 包含在一个更大的正交集中，比方说，如果 $x_{0}$ 与每个 $x_{i}$ 正交，那么 $‖ x_{0} ‖^{2} = \sum_{i} | (x_{0}, x_{i}) |^{2} = 0,$ 从而有 $x_{0} = 0$ 。 ◻