完备标准正交集

定理 1。若 $𝒱$ 是一个 $n$ 维内积空间，则在 $𝒱$ 中存在完全规范正交集，且 $𝒱$ 中的每个完全规范正交集都恰好包含 $n$ 个元素。 $𝒱$ 的正交维度与其线性维度相同。

证明。对于那些不介意在可能不可数的集合中寻找元素的人来说，完全规范正交集的存在性是显而易见的。事实上，我们已经看到规范正交集是存在的，因此我们选择一个；如果它不是完全的，我们可以扩充它，如果得到的规范正交集仍然不是完全的，我们再次扩充它，并以此类推进行归纳。由于一个规范正交集最多只能包含 $n$ 个元素，在最多 $n$ 步内，我们就能得到一个完全规范正交集。该集合张成了整个空间（参见章节：完全性，定理 2，(1) $⟹$ (3)），并且由于它也是线性无关的，因此它是一个基，从而恰好包含 $n$ 个元素。这证明了定理的第一项断言；第二项断言从定义来看是显而易见的。 ◻

有一种构造性的方法可以避免这种粗糙的归纳，并且由于它能进一步阐明所涉及的概念，我们在此将其作为定理的另一种证明方法予以重现。

设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的任意基。我们将构造一个完全规范正交集 $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{n}}$ ，使其满足每个 $y_{j}$ 都是 $x_{1}, \dots, x_{j}$ 的线性组合。为了开始构造，我们注意到 $x_{1} \neq 0$ （因为 $𝒳$ 是线性无关的），并令 $y_{1} = x_{1} / ‖ x_{1} ‖$ 。现在假设已经求得 $y_{1}, \dots, y_{r}$ ，它们构成一个规范正交集，且每个 $y_{j}$ （ $j = 1, \dots, r$ ）都是 $x_{1}, \dots, x_{j}$ 的线性组合。我们令 $z = x_{r + 1} - (α_{1} y_{1} + \dots + α_{r} y_{r}),$ 其中标量 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 的值仍有待确定。由于对于 $j = 1, \dots, r$ ，有 $(z, y_{j}) = (x_{r + 1} - \sum_{i} α_{i} y_{i}, y_{j}) = (x_{r + 1}, y_{j}) - α_{j}$ ，因此如果我们选择 $α_{j} = (x_{r + 1}, y_{j})$ ，那么对于 $j = 1, \dots, r$ ，就有 $(z, y_{j}) = 0$ 。此外，由于 $z$ 是 $x_{r + 1}$ 和 $y_{1}, \dots, y_{r}$ 的线性组合，它也是 $x_{r + 1}$ 和 $x_{1}, \dots, x_{r}$ 的线性组合。最后， $z$ 不为零，因为 $x_{1}, \dots, x_{r}, x_{r + 1}$ 是线性无关的，且在 $z$ 的表达式中 $x_{r + 1}$ 的系数不为零。我们令 $y_{r + 1} = z / ‖ z ‖$ ；显然 ${y_{1}, \dots, y_{r}, y_{r + 1}}$ 再次成为一个具有所有所需性质的规范正交集，从而完成了归纳步骤。我们将利用这样一个事实：不仅每个 $y_{j}$ 都是下标在 $1$ 到 $j$ 之间的 $x$ 的线性组合，反之亦然，每个 $x_{j}$ 也是下标在 $1$ 到 $j$ 之间的 $y$ 的线性组合。我们刚刚描述的将线性基转换为完全规范正交集的方法被称为 Gram-Schmidt 正交化过程。

在内积空间中，我们将会发现，专门使用同时也是完全规范正交集的基是方便且自然的。我们将这样的基称为 规范正交基 或 规范正交坐标系；在未来，每当我们讨论不一定是规范正交的基时，我们将通过称其为线性基来强调这一事实。

练习

练习 1。通过定义当 $x$ 和 $y$ 在 $𝒫_{2}$ 中时， $(x, y) = \int_{0}^{1} x (t) \overset{―}{y (t)} d t$ ，从而将 $𝒫_{2}$ 转化为一个内积空间，并求该空间中的一个完全规范正交集。

练习 2。如果 $x$ 和 $y$ 是正交的单位向量（即 ${x, y}$ 是一个规范正交集），那么 $x$ 和 $y$ 之间的距离是多少？

练习 3。证明：如果 $| (x, y) | = ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖$ （即，如果 Schwarz 不等式退化为等式），则 $x$ 和 $y$ 线性相关。

练习 4。

证明：如果在内积的定义中，将“严格正”替换为“非负”，Schwarz 不等式仍然成立。
证明：对于 (a) 中提到的那种“非负”内积，所有满足 $(x, x) = 0$ 的向量 $x$ 的集合是一个子空间。
构造模去 (b) 中提到的子空间的商空间，并证明所给的“内积”以自然的方式在该商空间上诱导出一个真正的（严格正的）内积。
(a)、(b) 和 (c) 中的讨论是否可以推广到赋范空间（可能没有内积）？

练习 5。

给定一个严格正数 $α$ ，尝试通过定义当 $x = (ξ_{1}, ξ_{2})$ 时， $‖ x ‖ = (| ξ_{1} |^{α} + | ξ_{2} |^{α})^{1 / α}$ 来在 $ℝ^{2}$ 中定义一个范数。在关于 $α$ 的什么条件下，该方程定义了一个范数？
证明方程 $‖ x ‖ = max {| ξ_{1} |, | ξ_{2} |}$ 在 $ℝ^{2}$ 中定义了一个范数。
在 (a) 和 (b) 中定义的范数中，哪些范数在 $ℝ^{2}$ 中存在一个对应的内积，使得对于 $ℝ^{2}$ 中的所有 $x$ ，都有 $‖ x ‖^{2} = (x, x)$ ？

练习 6。

证明：实赋范空间上存在满足对于所有 $x$ 都有 $‖ x ‖^{2} = (x, x)$ 的内积的充要条件是，对于所有 $x$ 和 $y$ ，都有 $‖ x + y ‖^{2} + ‖ x - y ‖^{2} = 2 ‖ x ‖^{2} + 2 ‖ y ‖^{2}$ 。
讨论复空间上的对应断言。
证明：在 $ℝ^{2}$ 中的范数上，存在满足对于 $ℝ^{2}$ 中的所有 $x$ 都有 $‖ x ‖^{2} = (x, x)$ 的内积的充要条件是，方程 $‖ x ‖ = 1$ 的轨迹是一个椭圆。

练习 7。如果 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是内积空间中的一个完全规范正交集，且 $y_{j} = \sum_{i = 1}^{j} x_{i}$ ， $j = 1, \dots, n$ ，试用 $x$ 表示对 $y$ 应用 Gram-Schmidt 正交化过程所得到的向量。