垂直投影

现在，我们能够履行之前的承诺，研究与特定直和分解 $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ 相关联的投影。我们将这种投影称为正交投影。由于 $ℳ^{⟂}$ 是由子空间 $ℳ$ 唯一确定的，如果我们已经知道一个投影是正交的，就不需要同时指定与该投影相关联的两个直和项。我们将沿着 $ℳ^{⟂}$ 在 $ℳ$ 上的（正交）投影 $E$ 简称为在 $ℳ$ 上的投影，并记作 $E = P_{ℳ}$ 。

定理 1. 线性变换 $E$ 是正交投影当且仅当 $E = E^{2} = E^{*}$ 。正交投影是正线性变换，并且对于所有 $x$ 具有性质 $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ 。

证明. 如果 $E$ 是正交投影，那么章节：投影的伴随的定理 1 以及章节：直和的对偶的定理表明（当然，在进行了通常的替换之后，例如用 $ℳ^{⟂}$ 代替 $ℳ^{0}$ ，用 $A^{*}$ 代替）， $E = E^{*}$ 。反之，如果 $E = E^{2} = E^{*}$ ，那么 $E$ 的幂等性确保了 $E$ 是沿着 $𝒩$ 在 $ℛ$ 上的投影，其中，当然， $ℛ = ℛ (E)$ 和 $𝒩 = 𝒩 (E)$ 分别是 $E$ 的值域和零空间。因此，我们只需证明 $ℛ$ 和 $𝒩$ 是正交的。为此，设 $x$ 是 $ℛ$ 中的任意元素， $y$ 是 $𝒩$ 中的任意元素；所需的结果可由以下关系得出： $(x, y) = (E x, y) = (x, E^{*} y) = (x, E y) = 0.$ 满足 $E = E^{2} = E^{*}$ 的 $E$ 的正性可由下式得出：将这一结果应用于正交投影 $1 - E$ ，我们看到这就完成了定理的证明。 ◻

对于我们理论的一些推广，有用的是要知道幂等性与定理 1 中提到的最后一个性质结合起来，也是正交投影的特征。

定理 2. 如果线性变换 $E$ 满足 $E = E^{2}$ 且对于所有 $x$ 都有 $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ ，那么 $E = E^{*}$ 。

证明. 我们要证明 $E$ 的值域 $ℛ$ 和零空间 $𝒩$ 是正交的。如果 $x$ 在 $𝒩^{⟂}$ 中，那么 $y = E x - x$ 在 $𝒩$ 中，因为 $E y = E^{2} x - E x = E x - E x = 0.$ 因此 $E x = x + y$ 且 $(x, y) = 0$ ，从而有 $‖ x ‖^{2} \geq ‖ E x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} \geq ‖ x ‖^{2},$ 因此 $y = 0$ 。所以 $E x = x$ ，从而 $x$ 在 $ℛ$ 中；这证明了 $𝒩^{⟂} \subset ℛ$ 。反之，如果 $z$ 在 $ℛ$ 中，即 $E z = z$ ，我们令 $z = x + y$ ，其中 $x$ 在 $𝒩^{⟂}$ 中， $y$ 在 $𝒩$ 中。那么 $z = E z = E x + E y = E x = x .$ （最后一个等号成立的原因是 $x$ 在 $𝒩^{⟂}$ 中，因此也在 $ℛ$ 中。）因此 $z$ 在 $𝒩^{⟂}$ 中，从而有 $ℛ \subset 𝒩^{⟂}$ ，因此 $ℛ = 𝒩^{⟂}$ 。 ◻

我们还需要这样一个事实：如果将“投影”一词在全文中都限定为“正交”，那么章节：投影的组合的定理仍然成立。这是前述正交投影特征的直接推论，也是因为自伴随变换的和与差仍是自伴随的，而两个自伴随变换的乘积是自伴随的当且仅当它们可交换。通过我们目前的几何方法，也很容易将定理中关于两个求和项之和的部分推广到任意有限多个。这种推广最方便地是用投影的正交性概念来陈述；如果 $E F = 0$ ，我们将称两个（正交）投影 $E$ 和 $F$ 是正交的。（考虑伴随变换表明，这等价于 $F E = 0$ 。）以下定理表明，这种几何语言是合理的。

定理 3. 两个正交投影 $E = P_{ℳ}$ 和 $F = P_{𝒩}$ 是正交的，当且仅当子空间 $ℳ$ 和 $𝒩$ （即 $E$ 和 $F$ 的值域）是正交的。

证明. 如果 $E F = 0$ ，且 $x$ 和 $y$ 分别在 $E$ 和 $F$ 的值域中，那么 $(x, y) = (E x, F y) = (x, E^{*} F y) = (x, E F y) = 0.$ 反之，如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是正交的（从而有 $𝒩 \subset ℳ^{⟂}$ ），那么对于 $ℳ^{⟂}$ 中的 $x$ 都有 $E x = 0$ 这一事实，意味着对于所有 $x$ 都有 $E F x = 0$ （因为 $F x$ 在 $𝒩$ 中，从而也在 $ℳ^{⟂}$ 中）。 ◻