圆括号与方括号

现在有必要理清一般向量空间与内积空间之间的关系。前一节的定理表明，只要我们注意复共轭，$(x,y)$ 就完全可以代替 $[x,y]$ 。似乎最好是以这样一种方式来阐述一般向量空间的整个课题，使得酉空间中的正交性概念不仅是一个类比，而且是先前研究过的向量与泛函之间某种一般关系的特例。例如，避免共轭带来的不快（或者更确切地说，将其转移到不那么显眼的位置）的一种方法是，将复向量空间的对偶空间定义为共轭线性泛函的集合，即数值函数 $y$ 的集合，满足 $$y({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2)={\overline{\alpha }}_{1}y(x_1)+{\overline{\alpha }}_{2}y(x_2).$$ 因为将这种复杂性引入一般理论似乎毫无意义（且违背常用习惯），所以我们选择了一条刚刚走过的迂回道路。既然从现在起我们只讨论内积空间，我们请读者在脑海中修正之前的所有工作，在全文中将方括号 $[x,y]$ 替换为圆括号 $(x,y)$ 。让我们来看看这一改变对前两章的定理和定义有什么影响。

用 ${𝒱}^{\ast }$ 代替 仅仅是记号上的改变；新符号旨在提醒我们， 中加入了一些新的东西（即内积）。更有趣一点的是 $𝒱$ 与 ${𝒱}^{\ast }$ 之间的（共轭）同构；借助于它，节：对偶基中断言具有各种性质的线性泛函存在的定理，现在可以解释为断言 $𝒱$ 自身中存在某些向量。因此，例如，对于任何给定的基 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ，其对偶基的存在性现在意味着存在（$𝒱$ 的）一个基 $𝒴=\{y_1,\dots ,y_n\}$ ，满足性质 $(x_i,y_j)={\delta }_{ij}$ 。

更令人兴奋的是，子空间 $ℳ$ 的零化子 ${ℳ}^0$ （${ℳ}^0$ 位于 或 ${𝒱}^{\ast }$ 中）被正交补 ${ℳ}^{⟂}$ （与 $ℳ$ 一同位于 $𝒱$ 中）所隐式替代。然而，最根本的新进展涉及线性变换的伴随。因此，我们可以写出 节：伴随 (1) 的类似物，并且对应于 $𝒱$ 上的每个线性变换 $A$ ，我们可以通过对每个 $x$ 写下 $$(Ax,y)=(x,A^{\ast }y)$$ 来定义一个线性变换 $A^{\ast }$ 。从这个定义可以得出，$A^{\ast }$ 仍然是定义在同一个向量空间 $𝒱$ 上的线性变换，但是，由于 $(x,y)$ 的埃尔米特对称性，$A$ 与 $A^{\ast }$ 之间的关系与 $A$ 与 之间的关系不尽相同。最显著的区别是（在酉空间中） $(\alpha A{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{A}^{\ast }$ （而不是 $(\alpha A{)}^{\ast }=\alpha A^{\ast }$ ）。与这一现象相关的事实是，如果 $A$ 关于某个固定基的矩阵是 $({\alpha }_{ij})$ ，那么 $A^{\ast }$ 关于对偶基的矩阵不是 $({\alpha }_{ji})$ ，而是 $({\overline{\alpha }}_{ji})$ 。对于行列式，我们没有 $\det A^{\ast }=\det A$ ，而是 $\det A^{\ast }=\overline{\det A}$ ，因此， $A^{\ast }$ 的特征值与 $A$ 的特征值不同，而是它们的共轭。然而，区别仅限于此。节：伴随中关于对应关系 $A\rightleftarrows A^{\ast }$ 的反同构性质的所有其他结果都是成立的；恒等式 $A=A^{\ast \ast }$ 是严格成立的，不需要借助同构来解释它。

稍后我们将讨论内积空间上的线性变换，我们将看到，将其研究与第二章的讨论区别开来的主要新特征是，可以将 $A$ 和 $A^{\ast }$ 作为同一空间上的线性变换进行比较，并研究那些与其伴随具有特别简单关系的线性变换类别。