变换的函数

在酉空间上的正规变换理论中，最实用的概念之一是变换的函数。如果 $A$ 是一个谱形式为 $\sum _j{\alpha }_j{E}_j$ 的正规变换（在此讨论中，我们暂时假设基向量空间是一个酉空间），并且如果 $f$ 是一个至少在点 ${\alpha }_j$ 处有定义的任意复值函数，那么我们通过 $$f(A)=\sum _{j}f({\alpha }_j)E_j.$$ 定义一个线性变换 $f(A)$ 。因为对于多项式 $p$ （甚至对于有理函数），我们已经看到，如果 $A$ 是正规的，我们早先对 $p(A)$ 的定义会产生 $p(A)=\sum _{j}p({\alpha }_j)E_j$ ，所以我们看到这个新概念是旧概念的推广。对任意函数 $f$ 考虑 $f(A)$ 的好处对我们来说主要是在记号上；它没有引入任何概念上的新东西。事实上，对于任意的 $f$ ，我们可以写成 $f({\alpha }_j)={\beta }_j$ ，然后我们可以找到一个多项式 $p$ ，它在有限个不同的复数集合 ${\alpha }_j$ 上分别取值 ${\beta }_j$ 。利用这个多项式 $p$ ，我们有 $f(A)=p(A)$ ，因此通过构造任意函数定义的变换类本质上并不是什么新东西；它只是省去了为每个特殊情况构造一个多项式的麻烦。因此，例如，如果对于每个复数 $\lambda$ ，我们写出 $$f_{\lambda }(\zeta )=0\text{ 当 }\zeta \ne \lambda$$ 和 $$f_{\lambda }(\lambda )=1,$$ 那么 $f_{\lambda }(A)$ 是在 $Ax=\lambda x$ 的解子空间上的正交投影。

我们注意到，如果 $f(\zeta )=\frac{1}{\zeta }$ ，那么（当然假设 $f$ 对所有 ${\alpha }_j$ 都有定义，即 ${\alpha }_j\ne 0$ ） $f(A)=A^{-1}$ ，如果 $f(\zeta )=\xi$ ，那么 $f(A)=A^{\ast }$ 。这些陈述意味着，如果 $f$ 是 $\zeta$ 和 $\xi$ 的任意有理函数，我们通过替换 $\zeta \to A$ 、$\xi \to A^{\ast }$ 和 $\frac{1}{\xi }=A^{-1}$ 来获得 $f(A)$ 。然而，符号 $f(A)$ 是为更一般的函数定义的，在下文中，我们将可以自由地使用诸如 $e^A$ 和 $\sqrt{A}$ 之类的表达式。

一个特别重要的函数是正变换的平方根。我们考虑定义在所有实数 $\zeta \ge 0$ 上的 $f(\zeta )=\sqrt{\zeta }$ 作为 $\zeta$ 的正平方根，并且对于每个正变换 $A=\sum _j{\alpha }_j{E}_j$ ，我们写成 $$\sqrt{A}=\sum _j\sqrt{{\alpha }_j}{E}_j.$$ （回想一下，对所有 $j$ ，有 ${\alpha }_j\ge 0$ 。接下来的讨论既适用于实内积空间，也适用于复内积空间。）显然，$\sqrt{A}\ge 0$ 且 $(\sqrt{A}{)}^2=A$ ；我们想研究这些性质在多大程度上刻画了 $\sqrt{A}$ 。乍一看，寻找任何唯一性似乎是徒劳的，因为如果我们考虑 $B=\sum _j\pm \sqrt{{\alpha }_j}{E}_j$ ，在每个位置任意选择正负号，我们仍然有 $A=B^2$ 。然而，我们构造的变换 $\sqrt{A}$ 是正的，我们可以证明这个附加性质保证了唯一性。换句话说：如果 $A=B^2$ 且 $B\ge 0$ ，那么 $B=\sqrt{A}$ 。为了证明这一点，设 $B=\sum _k{\beta }_k{F}_k$ 是 $B$ 的谱形式；那么 $$\sum _k{\beta }_k^2{F}_k=B^2=A=\sum _j{\alpha }_j{E}_j.$$ 由于 ${\beta }_k$ 是互不相同且为正的，因此 ${\beta }_k^2$ 也是如此；$A$ 的谱形式的唯一性意味着每个 ${\beta }_k^2$ 都等于某个 ${\alpha }_j$ （反之亦然），并且相应的 $E$ 和 $F$ 相等。因此，通过对指标进行置换，我们可以使所有 $j$ 满足 ${\beta }_j^2={\alpha }_j$ ，从而有 ${\beta }_j=\sqrt{{\alpha }_j}$ ，证毕。

正算子平方根的存在性有几个重要的应用；我们现在给出其中两个。

第一：我们回想一下，在 Section: 正变换 中，我们提到了正变换 $A$ 的三种可能定义，并采用了最弱的一种，即 $A$ 是自伴的，且对所有 $x$ 都有 $(Ax,x)\ge 0$ 。三种可能定义中最强的一种是，我们可以将 $A$ 写成 $A=B^2$ 的形式，其中 $B$ 是某个自伴变换。我们指出，本节关于平方根的结果意味着，我们的条件中（看似）最弱的一个蕴含了最强的一个，因此与之等价。（事实上，我们甚至可以得到唯一的正平方根。）

第二：在 Section: 正变换 中，我们还指出，如果 $A$ 和 $B$ 是正的且可交换的，那么 $AB$ 也是正的；我们现在可以给出这一断言的一个简单证明。由于 $\sqrt{A}$ 和 $\sqrt{B}$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的函数（多项式），$A$ 和 $B$ 的可交换性意味着 $\sqrt{A}$ 和 $\sqrt{B}$ 彼此可交换；因此 由于 $\sqrt{A}$ 和 $\sqrt{B}$ 是自伴且可交换的，它们的乘积是自伴的，因此其平方是正的。

谱理论还使得刻画正变换 $A$ 的矩阵（相对于任意正交规范坐标系）变得非常容易。由于 $\det A$ 是 $A$ 的特征值的乘积，显然 $A\ge 0$ 意味着 $detA\ge 0$ 。（Section: 重数 中的讨论仅直接适用于复内积空间；然而，对可能为实的空间上的自伴变换进行讨论所需的适当修改是很容易提供的。）如果我们考虑用 $A$ 的矩阵 $({\alpha }_{ij})$ 表示的正性的定义性质，即 $\sum _i\sum _j{\alpha }_i{\xi }_i{\overline{\xi }}_j\ge 0$ ，我们注意到，如果我们通过要求坐标 $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ 中的某些项消失来对其进行限制，最后的表达式仍然是正的。用矩阵的话来说，这意味着如果我们划掉编号为 $j_1,\dots ,j_k$ 的列，并划掉带有相同编号的行，剩下的子矩阵仍然是正的，因此其行列式也是正的。这个事实通常表述为：正矩阵行列式的主子式是正的。反之亦然。在 $A$ 的特征多项式 $\det (A-\lambda )$ 中，$\lambda$ 的 $j$ 次幂的系数（除符号外）是所有 $n-j$ 行和列的主子式之和。符号交替为正和负；这意味着如果 $A$ 具有正的主子式且是自伴的（从而已知 $det(A-\lambda )$ 的零点是实数），那么 $A$ 的特征值是正的。由于矩阵的自伴特性可以通过观察它是否是（埃尔米特）对称的（ ${\alpha }_{ij}={\overline{\alpha }}_{ji}$ ）来确定，我们的评论将找出矩阵是否为正的问题简化为有限次初等计算。

习题