遍历定理

常规工作已经完成；接下来我们通过考虑一些非常特殊但相当重要的收敛问题来说明一般理论。

定理 1. 如果 $U$ 是有限维内积空间上的一个等距映射，并且 $ℳ$ 是由 $U x = x$ 的所有解构成的子空间，那么由 $V_{n} = \frac{1}{n} (1 + U + \dots + U^{n - 1})$ 定义的序列当 $n \to \infty$ 时收敛到垂直投影 $E = P_{ℳ}$ 。

证明。 设 $𝒩$ 是线性变换 $1 - U$ 的值域。如果 $x = y - U y$ 属于 $𝒩$ ，那么所以这表明当 $x$ 在 $𝒩$ 中时， $V_{n} x$ 收敛到零。

另一方面，如果 $x$ 在 $ℳ$ 中，即 $U x = x$ ，那么 $V_{n} x = x$ ，所以此时 $V_{n} x$ 当然收敛到 $x$ 。

我们将通过证明 $𝒩^{⟂} = ℳ$ 来完成证明。（这将意味着每个向量都是两个使 $(V_{n})$ 收敛的向量之和，因此 $(V_{n})$ 处处收敛。我们已经证明的关于 $(V_{n})$ 在 $ℳ$ 和 $𝒩$ 中的极限表明， $(V_{n} x)$ 总是收敛到 $x$ 在 $ℳ$ 中的投影。）为证明 $𝒩^{⟂} = ℳ$ ，我们注意到 $x$ 属于 $𝒩$ 的正交补当且仅当对所有 $y$ 成立 $(x, y - U y) = 0$ 。这推出也就是说， $x - U^{*} x = x - U^{- 1} x$ 与每个向量 $y$ 正交，从而 $x - U^{- 1} x = 0$ ， $x = U^{- 1} x$ ，即 $U x = x$ 。从右向左阅读上述计算表明这个必要条件也是充分的；我们只需回顾 $ℳ$ 的定义即可看出 $ℳ = 𝒩^{⟂}$ 。 ◻

这个非常巧妙的证明，只需稍作修改即可适用于大多数重要的无穷维情形，归功于 F. Riesz。